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Theorem opphllem3 24791
Description: Lemma for opphl 24796: We assume opphllem3.l "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
hpg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
hpg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
hpg.o  |-  O  =  { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  ( P 
\  D )  /\  b  e.  ( P  \  D ) )  /\  E. t  e.  D  t  e.  ( a I b ) ) }
opphl.l  |-  L  =  (LineG `  G )
opphl.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
opphl.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
opphl.k  |-  K  =  (hlG `  G )
opphllem5.n  |-  N  =  ( (pInvG `  G
) `  M )
opphllem5.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
opphllem5.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
opphllem5.r  |-  ( ph  ->  R  e.  D )
opphllem5.s  |-  ( ph  ->  S  e.  D )
opphllem5.m  |-  ( ph  ->  M  e.  P )
opphllem5.o  |-  ( ph  ->  A O C )
opphllem5.p  |-  ( ph  ->  D (⟂G `  G
) ( A L R ) )
opphllem5.q  |-  ( ph  ->  D (⟂G `  G
) ( C L S ) )
opphllem3.t  |-  ( ph  ->  R  =/=  S )
opphllem3.l  |-  ( ph  ->  ( S  .-  C
) (≤G `  G
) ( R  .-  A ) )
opphllem3.u  |-  ( ph  ->  U  e.  P )
opphllem3.v  |-  ( ph  ->  ( N `  R
)  =  S )
Assertion
Ref Expression
opphllem3  |-  ( ph  ->  ( U ( K `
 R ) A  <-> 
( N `  U
) ( K `  S ) C ) )
Distinct variable groups:    D, a,
b    I, a, b    P, a, b    t, A    t, D    t, R    t, C    t, G    t, L    t, U    t, I    t, K   
t, M    t, O    t, N    t, P    t, S    ph, t    t,  .-    t, a, b
Allowed substitution hints:    ph( a, b)    A( a, b)    C( a, b)    R( a, b)    S( a, b)    U( a, b)    G( a, b)    K( a, b)    L( a, b)    M( a, b)    .- ( a, b)    N( a, b)    O( a, b)

Proof of Theorem opphllem3
Dummy variables  m  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 hpg.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
3 opphl.k . . . . 5  |-  K  =  (hlG `  G )
4 opphllem3.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  P )
54ad4antr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  U  e.  P
)
6 opphllem5.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
76ad4antr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  A  e.  P
)
8 opphl.l . . . . . . 7  |-  L  =  (LineG `  G )
9 opphl.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
10 opphl.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
11 opphllem5.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  D )
121, 8, 2, 9, 10, 11tglnpt 24594 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  P )
1312ad4antr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  R  e.  P
)
149ad4antr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
15 simplr 762 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  p  e.  P
)
16 simprl 764 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  p  e.  ( R I A ) )
17 opphllem5.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D (⟂G `  G
) ( A L R ) )
188, 9, 17perpln2 24756 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A L R )  e.  ran  L
)
191, 2, 8, 9, 6, 12, 18tglnne 24673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  R )
2019ad4antr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  A  =/=  R
)
21 hpg.d . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
22 opphllem5.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
2322ad4antr 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  C  e.  P
)
24 opphllem5.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  D )
251, 8, 2, 9, 10, 24tglnpt 24594 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  P )
2625ad4antr 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  S  e.  P
)
27 simprr 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) )
281, 21, 2, 14, 26, 23, 13, 15, 27tgcgrcomlr 24524 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( C  .-  S )  =  ( p  .-  R ) )
29 opphllem5.q . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D (⟂G `  G
) ( C L S ) )
3029ad4antr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  D (⟂G `  G
) ( C L S ) )
318, 14, 30perpln2 24756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( C L S )  e.  ran  L )
321, 2, 8, 14, 23, 26, 31tglnne 24673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  C  =/=  S
)
331, 21, 2, 14, 23, 26, 15, 13, 28, 32tgcgrneq 24527 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  p  =/=  R
)
341, 2, 3, 5, 7, 13, 14, 15, 16, 20, 33hlbtwn 24656 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( U ( K `  R ) A  <->  U ( K `  R ) p ) )
35 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  (pInvG `  G )  =  (pInvG `  G )
3614adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  G  e. TarskiG )
37 opphllem5.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( (pInvG `  G
) `  M )
38 opphllem5.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  P )
3938ad5antr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  M  e.  P )
405adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  U  e.  P )
4115adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  p  e.  P )
4213adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  R  e.  P )
43 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  U ( K `  R )
p )
441, 21, 2, 8, 35, 36, 37, 3, 39, 40, 41, 42, 43mirhl 24724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( N `  U ) ( K `
 ( N `  R ) ) ( N `  p ) )
45 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( N `  U )  =  ( N `  U ) )
46 opphllem3.v . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  R
)  =  S )
4746ad5antr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( N `  R )  =  S )
4847fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( K `  ( N `  R
) )  =  ( K `  S ) )
49 simprr 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  C  =  ( ( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) )
5014ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
51 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  m  e.  P
)
5238ad6antr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  M  e.  P
)
5326ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  S  e.  P
)
5413ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  R  e.  P
)
55 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  R  =  ( ( (pInvG `  G
) `  m ) `  S ) )
5655eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  =  R )
5737fveq1i 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 S )  =  ( ( (pInvG `  G ) `  M
) `  S )
581, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 12, 46mircom 24708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  R )
5957, 58syl5eqr 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  M
) `  S )  =  R )
6059ad6antr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  M
) `  S )  =  R )
611, 21, 2, 8, 35, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60miduniq 24730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  m  =  M )
6261fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( (pInvG `  G ) `  m
)  =  ( (pInvG `  G ) `  M
) )
6362, 37syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( (pInvG `  G ) `  m
)  =  N )
6463fveq1d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  p )  =  ( N `  p ) )
6549, 64eqtr2d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( N `  p )  =  C )
66 opphllem3.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  =/=  S )
6766ad4antr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  R  =/=  S
)
6867necomd 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  S  =/=  R
)
6910ad4antr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  D  e.  ran  L )
70 simp-4r 777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  t  e.  D
)
711, 8, 2, 14, 69, 70tglnpt 24594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  t  e.  P
)
7224ad4antr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  S  e.  D
)
7311ad4antr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  R  e.  D
)
741, 2, 8, 14, 26, 13, 68, 68, 69, 72, 73tglinethru 24681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  D  =  ( S L R ) )
7517ad4antr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  D (⟂G `  G
) ( A L R ) )
7674, 75eqbrtrrd 4425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( S L R ) (⟂G `  G
) ( A L R ) )
771, 2, 8, 14, 23, 26, 32tglinecom 24680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( C L S )  =  ( S L C ) )
7830, 74, 773brtr3d 4432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( S L R ) (⟂G `  G
) ( S L C ) )
7970, 74eleqtrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  t  e.  ( S L R ) )
80 simpllr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  t  e.  ( A I C ) )
811, 21, 2, 8, 14, 35, 26, 13, 68, 7, 23, 71, 76, 78, 79, 80, 15, 16, 27opphllem 24777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  E. m  e.  P  ( R  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  S )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  p )
) )
8265, 81r19.29a 2932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( N `  p )  =  C )
8382adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( N `  p )  =  C )
8445, 48, 83breq123d 4416 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( ( N `  U )
( K `  ( N `  R )
) ( N `  p )  <->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C ) )
8544, 84mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )
8614adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  G  e. TarskiG )
8738ad5antr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  M  e.  P )
881, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 4mircl 24706 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  e.  P )
8988ad5antr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  U )  e.  P
)
9023adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  C  e.  P )
9126adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  S  e.  P )
92 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )
931, 21, 2, 8, 35, 86, 37, 3, 87, 89, 90, 91, 92mirhl 24724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  ( N `  U
) ) ( K `
 ( N `  S ) ) ( N `  C ) )
945adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  U  e.  P )
951, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 94mirmir 24707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  ( N `  U
) )  =  U )
9613adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  R  e.  P )
9746ad5antr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  R )  =  S )
981, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 96, 97mircom 24708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  S )  =  R )
9998fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( K `  ( N `  S
) )  =  ( K `  R ) )
10015adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  p  e.  P )
10182adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  p )  =  C )
1021, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 100, 101mircom 24708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  C )  =  p )
10395, 99, 102breq123d 4416 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( ( N `  ( N `  U ) ) ( K `  ( N `
 S ) ) ( N `  C
)  <->  U ( K `  R ) p ) )
10493, 103mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  U ( K `  R )
p )
10585, 104impbida 843 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( U ( K `  R ) p  <->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C ) )
10634, 105bitrd 257 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( U ( K `  R ) A  <->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C ) )
107 opphllem3.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  .-  C
) (≤G `  G
) ( R  .-  A ) )
108 eqid 2451 . . . . . 6  |-  (≤G `  G )  =  (≤G `  G )
1091, 21, 2, 108, 9, 25, 22, 12, 6legov 24630 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  .-  C ) (≤G `  G ) ( R 
.-  A )  <->  E. p  e.  P  ( p  e.  ( R I A )  /\  ( S 
.-  C )  =  ( R  .-  p
) ) ) )
110107, 109mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. p  e.  P  ( p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )
111110ad2antrr 732 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  ->  E. p  e.  P  ( p  e.  ( R I A )  /\  ( S 
.-  C )  =  ( R  .-  p
) ) )
112106, 111r19.29a 2932 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  ->  ( U ( K `  R ) A  <->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C ) )
113 opphllem5.o . . . 4  |-  ( ph  ->  A O C )
114 hpg.o . . . . 5  |-  O  =  { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  ( P 
\  D )  /\  b  e.  ( P  \  D ) )  /\  E. t  e.  D  t  e.  ( a I b ) ) }
1151, 21, 2, 114, 6, 22islnopp 24781 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A O C  <-> 
( ( -.  A  e.  D  /\  -.  C  e.  D )  /\  E. t  e.  D  t  e.  ( A I C ) ) ) )
116113, 115mpbid 214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( -.  A  e.  D  /\  -.  C  e.  D )  /\  E. t  e.  D  t  e.  ( A I C ) ) )
117116simprd 465 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  D  t  e.  ( A I C ) )
118112, 117r19.29a 2932 1  |-  ( ph  ->  ( U ( K `
 R ) A  <-> 
( N `  U
) ( K `  S ) C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738    \ cdif 3401   class class class wbr 4402   {copab 4460   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   distcds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  LineGclng 24485  ≤Gcleg 24627  hlGchlg 24645  pInvGcmir 24697  ⟂Gcperpg 24740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-leg 24628  df-hlg 24646  df-mir 24698  df-rag 24739  df-perpg 24741
This theorem is referenced by:  opphllem4  24792  opphllem6  24794
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