Theorem opphllem3 24338

Description: Lemma for opphl 24342: We assume opphllem3.l "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	|- P = ( Base ` G )
hpg.d	|- .- = ( dist ` G )
hpg.i	|- I = (Itv ` G )
hpg.o	|- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
opphl.l	|- L = (LineG ` G )
opphl.d	|- ( ph -> D e. ran L )
opphl.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
opphl.k	|- K = ( c e. P |-> { <. a , b >. | ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ ( a =/= c /\ b =/= c /\ ( a e. ( c I b ) \/ b e. ( c I a ) ) ) ) } )
opphllem5.n	|- N = ( (pInvG ` G ) ` M )
opphllem5.a	|- ( ph -> A e. P )
opphllem5.c	|- ( ph -> C e. P )
opphllem5.r	|- ( ph -> R e. D )
opphllem5.s	|- ( ph -> S e. D )
opphllem5.m	|- ( ph -> M e. P )
opphllem5.o	|- ( ph -> A O C )
opphllem5.p	|- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( A L R ) )
opphllem5.q	|- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( C L S ) )
opphllem3.t	|- ( ph -> R =/= S )
opphllem3.l	|- ( ph -> ( S .- C ) (≤G ` G ) ( R .- A ) )
opphllem3.u	|- ( ph -> U e. P )
opphllem3.v	|- ( ph -> ( N ` R ) = S )

Assertion

Ref	Expression
opphllem3	|- ( ph -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )

Distinct variable groups:   A, a, b, c, t   D, a, b, t   C, a, b, c, t   G, a, b, c, t   L, a, b, t   I, a, b, c, t   t, K   M, a, b, c, t   t, O   N, a, b, c, t   P, a, b, c, t   R, a, b, c, t   S, a, b, c, t   U, a, b, c, t   ph, a, b, t   .- , a, b, t

Allowed substitution hints:   ph( c)   D( c)   K( a, b, c)   L( c)   .- ( c)   O( a, b, c)

Proof of Theorem opphllem3

Dummy variables m p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		hpg.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
3		opphl.k	. . . . 5 |- K = ( c e. P |-> { <. a , b >. | ( ( a e. P /\ b e. P ) /\ ( a =/= c /\ b =/= c /\ ( a e. ( c I b ) \/ b e. ( c I a ) ) ) ) } )
4		opphllem3.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. P )
5	4	ad4antr 731	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> U e. P )
6		opphllem5.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
7	6	ad4antr 731	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> A e. P )
8		opphl.l	. . . . . . 7 |- L = (LineG ` G )
9		opphl.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. TarskiG )
10		opphl.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ran L )
11		opphllem5.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. D )
12	1, 8, 2, 9, 10, 11	tglnpt 24153	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. P )
13	12	ad4antr 731	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> R e. P )
14	9	ad4antr 731	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> G e. TarskiG )
15		simplr 755	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> p e. P )
16		simprl 756	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> p e. ( R I A ) )
17		opphllem5.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( A L R ) )
18	8, 9, 17	perpln2 24305	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A L R ) e. ran L )
19	1, 2, 8, 9, 6, 12, 18	tglnne 24225	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= R )
20	19	ad4antr 731	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> A =/= R )
21		hpg.d	. . . . . 6 |- .- = ( dist ` G )
22		opphllem5.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. P )
23	22	ad4antr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> C e. P )
24		opphllem5.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. D )
25	1, 8, 2, 9, 10, 24	tglnpt 24153	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. P )
26	25	ad4antr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> S e. P )
27		simprr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( S .- C ) = ( R .- p ) )
28	1, 21, 2, 14, 26, 23, 13, 15, 27	tgcgrcomlr 24088	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( C .- S ) = ( p .- R ) )
29		opphllem5.q	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( C L S ) )
30	29	ad4antr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D (⟂G ` G ) ( C L S ) )
31	8, 14, 30	perpln2 24305	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( C L S ) e. ran L )
32	1, 2, 8, 14, 23, 26, 31	tglnne 24225	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> C =/= S )
33	1, 21, 2, 14, 23, 26, 15, 13, 28, 32	tgcgrneq 24091	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> p =/= R )
34	1, 2, 3, 5, 7, 13, 14, 15, 16, 20, 33	hlbtwn 24212	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( U ( K ` R ) A <-> U ( K ` R ) p ) )
35		eqid 2457	. . . . . . 7 |- (pInvG ` G ) = (pInvG ` G )
36	14	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> G e. TarskiG )
37		opphllem5.n	. . . . . . 7 |- N = ( (pInvG ` G ) ` M )
38		opphllem5.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. P )
39	38	ad5antr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> M e. P )
40	5	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> U e. P )
41	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> p e. P )
42	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> R e. P )
43		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> U ( K ` R ) p )
44	1, 21, 2, 8, 35, 36, 37, 3, 39, 40, 41, 42, 43	mirhl 24276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` U ) ( K ` ( N ` R ) ) ( N ` p ) )
45		eqidd 2458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` U ) = ( N ` U ) )
46		opphllem3.v	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` R ) = S )
47	46	ad5antr 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` R ) = S )
48	47	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( K ` ( N ` R ) ) = ( K ` S ) )
49		simprr 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) )
50	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> G e. TarskiG )
51		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> m e. P )
52	38	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> M e. P )
53	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> S e. P )
54	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> R e. P )
55		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) )
56	55	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) = R )
57	37	fveq1i 5873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N ` S ) = ( ( (pInvG ` G ) ` M ) ` S )
58	1, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 12, 46	mircom 24261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N ` S ) = R )
59	57, 58	syl5eqr 2512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( (pInvG ` G ) ` M ) ` S ) = R )
60	59	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` M ) ` S ) = R )
61	1, 21, 2, 8, 35, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60	miduniq 24279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> m = M )
62	61	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( (pInvG ` G ) ` m ) = ( (pInvG ` G ) ` M ) )
63	62, 37	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( (pInvG ` G ) ` m ) = N )
64	63	fveq1d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) = ( N ` p ) )
65	49, 64	eqtr2d 2499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( N ` p ) = C )
66		opphllem3.t	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R =/= S )
67	66	ad4antr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> R =/= S )
68	67	necomd 2728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> S =/= R )
69	10	ad4antr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D e. ran L )
70		simp-4r 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. D )
71	1, 8, 2, 14, 69, 70	tglnpt 24153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. P )
72	24	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> S e. D )
73	11	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> R e. D )
74	1, 2, 8, 14, 26, 13, 68, 68, 69, 72, 73	tglinethru 24233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D = ( S L R ) )
75	17	ad4antr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D (⟂G ` G ) ( A L R ) )
76	74, 75	eqbrtrrd 4478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( S L R ) (⟂G ` G ) ( A L R ) )
77	1, 2, 8, 14, 23, 26, 32	tglinecom 24232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( C L S ) = ( S L C ) )
78	30, 74, 77	3brtr3d 4485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( S L R ) (⟂G ` G ) ( S L C ) )
79	70, 74	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. ( S L R ) )
80		simpllr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. ( A I C ) )
81	1, 21, 2, 8, 14, 35, 26, 13, 68, 7, 23, 71, 76, 78, 79, 80, 15, 16, 27	opphllem 24326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> E. m e. P ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) )
82	65, 81	r19.29a 2999	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( N ` p ) = C )
83	82	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` p ) = C )
84	45, 48, 83	breq123d 4470	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( ( N ` U ) ( K ` ( N ` R ) ) ( N ` p ) <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
85	44, 84	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` U ) ( K ` S ) C )
86	14	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> G e. TarskiG )
87	38	ad5antr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> M e. P )
88	1, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 4	mircl 24259	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N ` U ) e. P )
89	88	ad5antr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` U ) e. P )
90	23	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> C e. P )
91	26	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> S e. P )
92		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` U ) ( K ` S ) C )
93	1, 21, 2, 8, 35, 86, 37, 3, 87, 89, 90, 91, 92	mirhl 24276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` ( N ` U ) ) ( K ` ( N ` S ) ) ( N ` C ) )
94	5	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> U e. P )
95	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 94	mirmir 24260	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` ( N ` U ) ) = U )
96	13	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> R e. P )
97	46	ad5antr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` R ) = S )
98	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 96, 97	mircom 24261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` S ) = R )
99	98	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( K ` ( N ` S ) ) = ( K ` R ) )
100	15	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> p e. P )
101	82	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` p ) = C )
102	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 100, 101	mircom 24261	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` C ) = p )
103	95, 99, 102	breq123d 4470	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( ( N ` ( N ` U ) ) ( K ` ( N ` S ) ) ( N ` C ) <-> U ( K ` R ) p ) )
104	93, 103	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> U ( K ` R ) p )
105	85, 104	impbida 832	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( U ( K ` R ) p <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
106	34, 105	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
107		opphllem3.l	. . . . 5 |- ( ph -> ( S .- C ) (≤G ` G ) ( R .- A ) )
108		eqid 2457	. . . . . 6 |- (≤G ` G ) = (≤G ` G )
109	1, 21, 2, 108, 9, 25, 22, 12, 6	legov 24189	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S .- C ) (≤G ` G ) ( R .- A ) <-> E. p e. P ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) )
110	107, 109	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> E. p e. P ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) )
111	110	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) -> E. p e. P ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) )
112	106, 111	r19.29a 2999	. 2 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
113		opphllem5.o	. . . 4 |- ( ph -> A O C )
114		hpg.o	. . . . 5 |- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
115	1, 21, 2, 114, 6, 22	islnopp 24330	. . . 4 |- ( ph -> ( A O C <-> ( ( -. A e. D /\ -. C e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I C ) ) ) )
116	113, 115	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( ( -. A e. D /\ -. C e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I C ) ) )
117	116	simprd 463	. 2 |- ( ph -> E. t e. D t e. ( A I C ) )
118	112, 117	r19.29a 2999	1 |- ( ph -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   E.wrex 2808   \ cdif 3468   class class class wbr 4456   {copab 4514   |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14735   distcds 14812  TarskiGcstrkg 24042  Itvcitv 24049  LineGclng 24050  ≤Gcleg 24186  pInvGcmir 24250  ⟂Gcperpg 24289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-s2 12825  df-s3 12826  df-trkgc 24061  df-trkgb 24062  df-trkgcb 24063  df-trkg 24067  df-cgrg 24120  df-leg 24187  df-mir 24251  df-rag 24288  df-perpg 24290

This theorem is referenced by:  opphllem4  24339  opphllem6  24341