MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem3 Structured version   Unicode version

Theorem opphllem3 24338
Description: Lemma for opphl 24342: We assume opphllem3.l "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
hpg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
hpg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
hpg.o  |-  O  =  { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  ( P 
\  D )  /\  b  e.  ( P  \  D ) )  /\  E. t  e.  D  t  e.  ( a I b ) ) }
opphl.l  |-  L  =  (LineG `  G )
opphl.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
opphl.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
opphl.k  |-  K  =  ( c  e.  P  |->  { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  P  /\  b  e.  P )  /\  ( a  =/=  c  /\  b  =/=  c  /\  ( a  e.  ( c I b )  \/  b  e.  ( c I a ) ) ) ) } )
opphllem5.n  |-  N  =  ( (pInvG `  G
) `  M )
opphllem5.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
opphllem5.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
opphllem5.r  |-  ( ph  ->  R  e.  D )
opphllem5.s  |-  ( ph  ->  S  e.  D )
opphllem5.m  |-  ( ph  ->  M  e.  P )
opphllem5.o  |-  ( ph  ->  A O C )
opphllem5.p  |-  ( ph  ->  D (⟂G `  G
) ( A L R ) )
opphllem5.q  |-  ( ph  ->  D (⟂G `  G
) ( C L S ) )
opphllem3.t  |-  ( ph  ->  R  =/=  S )
opphllem3.l  |-  ( ph  ->  ( S  .-  C
) (≤G `  G
) ( R  .-  A ) )
opphllem3.u  |-  ( ph  ->  U  e.  P )
opphllem3.v  |-  ( ph  ->  ( N `  R
)  =  S )
Assertion
Ref Expression
opphllem3  |-  ( ph  ->  ( U ( K `
 R ) A  <-> 
( N `  U
) ( K `  S ) C ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, c, t    D, a, b, t    C, a, b, c, t    G, a, b, c, t    L, a, b, t    I, a, b, c, t    t, K    M, a, b, c, t    t, O    N, a, b, c, t    P, a, b, c, t    R, a, b, c, t    S, a, b, c, t    U, a, b, c, t    ph, a,
b, t    .- , a, b, t
Allowed substitution hints:    ph( c)    D( c)    K( a, b, c)    L( c)    .- ( c)    O( a, b, c)

Proof of Theorem opphllem3
Dummy variables  m  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 hpg.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
3 opphl.k . . . . 5  |-  K  =  ( c  e.  P  |->  { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  P  /\  b  e.  P )  /\  ( a  =/=  c  /\  b  =/=  c  /\  ( a  e.  ( c I b )  \/  b  e.  ( c I a ) ) ) ) } )
4 opphllem3.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  P )
54ad4antr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  U  e.  P
)
6 opphllem5.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
76ad4antr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  A  e.  P
)
8 opphl.l . . . . . . 7  |-  L  =  (LineG `  G )
9 opphl.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
10 opphl.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
11 opphllem5.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  D )
121, 8, 2, 9, 10, 11tglnpt 24153 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  P )
1312ad4antr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  R  e.  P
)
149ad4antr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
15 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  p  e.  P
)
16 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  p  e.  ( R I A ) )
17 opphllem5.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D (⟂G `  G
) ( A L R ) )
188, 9, 17perpln2 24305 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A L R )  e.  ran  L
)
191, 2, 8, 9, 6, 12, 18tglnne 24225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  R )
2019ad4antr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  A  =/=  R
)
21 hpg.d . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
22 opphllem5.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
2322ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  C  e.  P
)
24 opphllem5.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  D )
251, 8, 2, 9, 10, 24tglnpt 24153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  P )
2625ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  S  e.  P
)
27 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) )
281, 21, 2, 14, 26, 23, 13, 15, 27tgcgrcomlr 24088 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( C  .-  S )  =  ( p  .-  R ) )
29 opphllem5.q . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D (⟂G `  G
) ( C L S ) )
3029ad4antr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  D (⟂G `  G
) ( C L S ) )
318, 14, 30perpln2 24305 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( C L S )  e.  ran  L )
321, 2, 8, 14, 23, 26, 31tglnne 24225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  C  =/=  S
)
331, 21, 2, 14, 23, 26, 15, 13, 28, 32tgcgrneq 24091 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  p  =/=  R
)
341, 2, 3, 5, 7, 13, 14, 15, 16, 20, 33hlbtwn 24212 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( U ( K `  R ) A  <->  U ( K `  R ) p ) )
35 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (pInvG `  G )  =  (pInvG `  G )
3614adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  G  e. TarskiG )
37 opphllem5.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( (pInvG `  G
) `  M )
38 opphllem5.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  P )
3938ad5antr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  M  e.  P )
405adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  U  e.  P )
4115adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  p  e.  P )
4213adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  R  e.  P )
43 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  U ( K `  R )
p )
441, 21, 2, 8, 35, 36, 37, 3, 39, 40, 41, 42, 43mirhl 24276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( N `  U ) ( K `
 ( N `  R ) ) ( N `  p ) )
45 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( N `  U )  =  ( N `  U ) )
46 opphllem3.v . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  R
)  =  S )
4746ad5antr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( N `  R )  =  S )
4847fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( K `  ( N `  R
) )  =  ( K `  S ) )
49 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  C  =  ( ( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) )
5014ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
51 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  m  e.  P
)
5238ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  M  e.  P
)
5326ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  S  e.  P
)
5413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  R  e.  P
)
55 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  R  =  ( ( (pInvG `  G
) `  m ) `  S ) )
5655eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  =  R )
5737fveq1i 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 S )  =  ( ( (pInvG `  G ) `  M
) `  S )
581, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 12, 46mircom 24261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  R )
5957, 58syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  M
) `  S )  =  R )
6059ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  M
) `  S )  =  R )
611, 21, 2, 8, 35, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60miduniq 24279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  m  =  M )
6261fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( (pInvG `  G ) `  m
)  =  ( (pInvG `  G ) `  M
) )
6362, 37syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( (pInvG `  G ) `  m
)  =  N )
6463fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  p )  =  ( N `  p ) )
6549, 64eqtr2d 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  ( R  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  S )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  p ) ) )  ->  ( N `  p )  =  C )
66 opphllem3.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  =/=  S )
6766ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  R  =/=  S
)
6867necomd 2728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  S  =/=  R
)
6910ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  D  e.  ran  L )
70 simp-4r 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  t  e.  D
)
711, 8, 2, 14, 69, 70tglnpt 24153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  t  e.  P
)
7224ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  S  e.  D
)
7311ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  R  e.  D
)
741, 2, 8, 14, 26, 13, 68, 68, 69, 72, 73tglinethru 24233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  D  =  ( S L R ) )
7517ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  D (⟂G `  G
) ( A L R ) )
7674, 75eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( S L R ) (⟂G `  G
) ( A L R ) )
771, 2, 8, 14, 23, 26, 32tglinecom 24232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( C L S )  =  ( S L C ) )
7830, 74, 773brtr3d 4485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( S L R ) (⟂G `  G
) ( S L C ) )
7970, 74eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  t  e.  ( S L R ) )
80 simpllr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  t  e.  ( A I C ) )
811, 21, 2, 8, 14, 35, 26, 13, 68, 7, 23, 71, 76, 78, 79, 80, 15, 16, 27opphllem 24326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  E. m  e.  P  ( R  =  (
( (pInvG `  G
) `  m ) `  S )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  m
) `  p )
) )
8265, 81r19.29a 2999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( N `  p )  =  C )
8382adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( N `  p )  =  C )
8445, 48, 83breq123d 4470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( ( N `  U )
( K `  ( N `  R )
) ( N `  p )  <->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C ) )
8544, 84mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  U ( K `
 R ) p )  ->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )
8614adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  G  e. TarskiG )
8738ad5antr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  M  e.  P )
881, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 4mircl 24259 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  e.  P )
8988ad5antr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  U )  e.  P
)
9023adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  C  e.  P )
9126adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  S  e.  P )
92 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )
931, 21, 2, 8, 35, 86, 37, 3, 87, 89, 90, 91, 92mirhl 24276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  ( N `  U
) ) ( K `
 ( N `  S ) ) ( N `  C ) )
945adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  U  e.  P )
951, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 94mirmir 24260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  ( N `  U
) )  =  U )
9613adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  R  e.  P )
9746ad5antr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  R )  =  S )
981, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 96, 97mircom 24261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  S )  =  R )
9998fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( K `  ( N `  S
) )  =  ( K `  R ) )
10015adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  p  e.  P )
10182adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  p )  =  C )
1021, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 100, 101mircom 24261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( N `  C )  =  p )
10395, 99, 102breq123d 4470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  ( ( N `  ( N `  U ) ) ( K `  ( N `
 S ) ) ( N `  C
)  <->  U ( K `  R ) p ) )
10493, 103mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  /\  ( N `  U ) ( K `
 S ) C )  ->  U ( K `  R )
p )
10585, 104impbida 832 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( U ( K `  R ) p  <->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C ) )
10634, 105bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  /\  p  e.  P )  /\  (
p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )  ->  ( U ( K `  R ) A  <->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C ) )
107 opphllem3.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  .-  C
) (≤G `  G
) ( R  .-  A ) )
108 eqid 2457 . . . . . 6  |-  (≤G `  G )  =  (≤G `  G )
1091, 21, 2, 108, 9, 25, 22, 12, 6legov 24189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  .-  C ) (≤G `  G ) ( R 
.-  A )  <->  E. p  e.  P  ( p  e.  ( R I A )  /\  ( S 
.-  C )  =  ( R  .-  p
) ) ) )
110107, 109mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. p  e.  P  ( p  e.  ( R I A )  /\  ( S  .-  C )  =  ( R  .-  p ) ) )
111110ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  ->  E. p  e.  P  ( p  e.  ( R I A )  /\  ( S 
.-  C )  =  ( R  .-  p
) ) )
112106, 111r19.29a 2999 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  D )  /\  t  e.  ( A I C ) )  ->  ( U ( K `  R ) A  <->  ( N `  U ) ( K `
 S ) C ) )
113 opphllem5.o . . . 4  |-  ( ph  ->  A O C )
114 hpg.o . . . . 5  |-  O  =  { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  ( P 
\  D )  /\  b  e.  ( P  \  D ) )  /\  E. t  e.  D  t  e.  ( a I b ) ) }
1151, 21, 2, 114, 6, 22islnopp 24330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A O C  <-> 
( ( -.  A  e.  D  /\  -.  C  e.  D )  /\  E. t  e.  D  t  e.  ( A I C ) ) ) )
116113, 115mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( -.  A  e.  D  /\  -.  C  e.  D )  /\  E. t  e.  D  t  e.  ( A I C ) ) )
117116simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  D  t  e.  ( A I C ) )
118112, 117r19.29a 2999 1  |-  ( ph  ->  ( U ( K `
 R ) A  <-> 
( N `  U
) ( K `  S ) C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808    \ cdif 3468   class class class wbr 4456   {copab 4514    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14735   distcds 14812  TarskiGcstrkg 24042  Itvcitv 24049  LineGclng 24050  ≤Gcleg 24186  pInvGcmir 24250  ⟂Gcperpg 24289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-s2 12825  df-s3 12826  df-trkgc 24061  df-trkgb 24062  df-trkgcb 24063  df-trkg 24067  df-cgrg 24120  df-leg 24187  df-mir 24251  df-rag 24288  df-perpg 24290
This theorem is referenced by:  opphllem4  24339  opphllem6  24341
  Copyright terms: Public domain W3C validator