Theorem opphllem3 24791

Description: Lemma for opphl 24796: We assume opphllem3.l "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	|- P = ( Base ` G )
hpg.d	|- .- = ( dist ` G )
hpg.i	|- I = (Itv ` G )
hpg.o	|- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
opphl.l	|- L = (LineG ` G )
opphl.d	|- ( ph -> D e. ran L )
opphl.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
opphl.k	|- K = (hlG ` G )
opphllem5.n	|- N = ( (pInvG ` G ) ` M )
opphllem5.a	|- ( ph -> A e. P )
opphllem5.c	|- ( ph -> C e. P )
opphllem5.r	|- ( ph -> R e. D )
opphllem5.s	|- ( ph -> S e. D )
opphllem5.m	|- ( ph -> M e. P )
opphllem5.o	|- ( ph -> A O C )
opphllem5.p	|- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( A L R ) )
opphllem5.q	|- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( C L S ) )
opphllem3.t	|- ( ph -> R =/= S )
opphllem3.l	|- ( ph -> ( S .- C ) (≤G ` G ) ( R .- A ) )
opphllem3.u	|- ( ph -> U e. P )
opphllem3.v	|- ( ph -> ( N ` R ) = S )

Assertion

Ref	Expression
opphllem3	|- ( ph -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )

Distinct variable groups:   D, a, b   I, a, b   P, a, b   t, A   t, D   t, R   t, C   t, G   t, L   t, U   t, I   t, K   t, M   t, O   t, N   t, P   t, S   ph, t   t, .-   t, a, b

Allowed substitution hints:   ph( a, b)   A( a, b)   C( a, b)   R( a, b)   S( a, b)   U( a, b)   G( a, b)   K( a, b)   L( a, b)   M( a, b)   .- ( a, b)   N( a, b)   O( a, b)

Proof of Theorem opphllem3

Dummy variables m p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		hpg.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
3		opphl.k	. . . . 5 |- K = (hlG ` G )
4		opphllem3.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. P )
5	4	ad4antr 738	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> U e. P )
6		opphllem5.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
7	6	ad4antr 738	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> A e. P )
8		opphl.l	. . . . . . 7 |- L = (LineG ` G )
9		opphl.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. TarskiG )
10		opphl.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ran L )
11		opphllem5.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. D )
12	1, 8, 2, 9, 10, 11	tglnpt 24594	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. P )
13	12	ad4antr 738	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> R e. P )
14	9	ad4antr 738	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> G e. TarskiG )
15		simplr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> p e. P )
16		simprl 764	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> p e. ( R I A ) )
17		opphllem5.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( A L R ) )
18	8, 9, 17	perpln2 24756	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A L R ) e. ran L )
19	1, 2, 8, 9, 6, 12, 18	tglnne 24673	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= R )
20	19	ad4antr 738	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> A =/= R )
21		hpg.d	. . . . . 6 |- .- = ( dist ` G )
22		opphllem5.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. P )
23	22	ad4antr 738	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> C e. P )
24		opphllem5.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. D )
25	1, 8, 2, 9, 10, 24	tglnpt 24594	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. P )
26	25	ad4antr 738	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> S e. P )
27		simprr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( S .- C ) = ( R .- p ) )
28	1, 21, 2, 14, 26, 23, 13, 15, 27	tgcgrcomlr 24524	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( C .- S ) = ( p .- R ) )
29		opphllem5.q	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( C L S ) )
30	29	ad4antr 738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D (⟂G ` G ) ( C L S ) )
31	8, 14, 30	perpln2 24756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( C L S ) e. ran L )
32	1, 2, 8, 14, 23, 26, 31	tglnne 24673	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> C =/= S )
33	1, 21, 2, 14, 23, 26, 15, 13, 28, 32	tgcgrneq 24527	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> p =/= R )
34	1, 2, 3, 5, 7, 13, 14, 15, 16, 20, 33	hlbtwn 24656	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( U ( K ` R ) A <-> U ( K ` R ) p ) )
35		eqid 2451	. . . . . . 7 |- (pInvG ` G ) = (pInvG ` G )
36	14	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> G e. TarskiG )
37		opphllem5.n	. . . . . . 7 |- N = ( (pInvG ` G ) ` M )
38		opphllem5.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. P )
39	38	ad5antr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> M e. P )
40	5	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> U e. P )
41	15	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> p e. P )
42	13	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> R e. P )
43		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> U ( K ` R ) p )
44	1, 21, 2, 8, 35, 36, 37, 3, 39, 40, 41, 42, 43	mirhl 24724	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` U ) ( K ` ( N ` R ) ) ( N ` p ) )
45		eqidd 2452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` U ) = ( N ` U ) )
46		opphllem3.v	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` R ) = S )
47	46	ad5antr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` R ) = S )
48	47	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( K ` ( N ` R ) ) = ( K ` S ) )
49		simprr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) )
50	14	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> G e. TarskiG )
51		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> m e. P )
52	38	ad6antr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> M e. P )
53	26	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> S e. P )
54	13	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> R e. P )
55		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) )
56	55	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) = R )
57	37	fveq1i 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N ` S ) = ( ( (pInvG ` G ) ` M ) ` S )
58	1, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 12, 46	mircom 24708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N ` S ) = R )
59	57, 58	syl5eqr 2499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( (pInvG ` G ) ` M ) ` S ) = R )
60	59	ad6antr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` M ) ` S ) = R )
61	1, 21, 2, 8, 35, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60	miduniq 24730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> m = M )
62	61	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( (pInvG ` G ) ` m ) = ( (pInvG ` G ) ` M ) )
63	62, 37	syl6eqr 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( (pInvG ` G ) ` m ) = N )
64	63	fveq1d 5867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) = ( N ` p ) )
65	49, 64	eqtr2d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( N ` p ) = C )
66		opphllem3.t	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R =/= S )
67	66	ad4antr 738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> R =/= S )
68	67	necomd 2679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> S =/= R )
69	10	ad4antr 738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D e. ran L )
70		simp-4r 777	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. D )
71	1, 8, 2, 14, 69, 70	tglnpt 24594	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. P )
72	24	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> S e. D )
73	11	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> R e. D )
74	1, 2, 8, 14, 26, 13, 68, 68, 69, 72, 73	tglinethru 24681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D = ( S L R ) )
75	17	ad4antr 738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D (⟂G ` G ) ( A L R ) )
76	74, 75	eqbrtrrd 4425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( S L R ) (⟂G ` G ) ( A L R ) )
77	1, 2, 8, 14, 23, 26, 32	tglinecom 24680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( C L S ) = ( S L C ) )
78	30, 74, 77	3brtr3d 4432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( S L R ) (⟂G ` G ) ( S L C ) )
79	70, 74	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. ( S L R ) )
80		simpllr 769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. ( A I C ) )
81	1, 21, 2, 8, 14, 35, 26, 13, 68, 7, 23, 71, 76, 78, 79, 80, 15, 16, 27	opphllem 24777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> E. m e. P ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) )
82	65, 81	r19.29a 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( N ` p ) = C )
83	82	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` p ) = C )
84	45, 48, 83	breq123d 4416	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( ( N ` U ) ( K ` ( N ` R ) ) ( N ` p ) <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
85	44, 84	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` U ) ( K ` S ) C )
86	14	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> G e. TarskiG )
87	38	ad5antr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> M e. P )
88	1, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 4	mircl 24706	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N ` U ) e. P )
89	88	ad5antr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` U ) e. P )
90	23	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> C e. P )
91	26	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> S e. P )
92		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` U ) ( K ` S ) C )
93	1, 21, 2, 8, 35, 86, 37, 3, 87, 89, 90, 91, 92	mirhl 24724	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` ( N ` U ) ) ( K ` ( N ` S ) ) ( N ` C ) )
94	5	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> U e. P )
95	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 94	mirmir 24707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` ( N ` U ) ) = U )
96	13	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> R e. P )
97	46	ad5antr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` R ) = S )
98	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 96, 97	mircom 24708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` S ) = R )
99	98	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( K ` ( N ` S ) ) = ( K ` R ) )
100	15	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> p e. P )
101	82	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` p ) = C )
102	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 100, 101	mircom 24708	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` C ) = p )
103	95, 99, 102	breq123d 4416	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( ( N ` ( N ` U ) ) ( K ` ( N ` S ) ) ( N ` C ) <-> U ( K ` R ) p ) )
104	93, 103	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> U ( K ` R ) p )
105	85, 104	impbida 843	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( U ( K ` R ) p <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
106	34, 105	bitrd 257	. . 3 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
107		opphllem3.l	. . . . 5 |- ( ph -> ( S .- C ) (≤G ` G ) ( R .- A ) )
108		eqid 2451	. . . . . 6 |- (≤G ` G ) = (≤G ` G )
109	1, 21, 2, 108, 9, 25, 22, 12, 6	legov 24630	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S .- C ) (≤G ` G ) ( R .- A ) <-> E. p e. P ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) )
110	107, 109	mpbid 214	. . . 4 |- ( ph -> E. p e. P ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) )
111	110	ad2antrr 732	. . 3 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) -> E. p e. P ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) )
112	106, 111	r19.29a 2932	. 2 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
113		opphllem5.o	. . . 4 |- ( ph -> A O C )
114		hpg.o	. . . . 5 |- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
115	1, 21, 2, 114, 6, 22	islnopp 24781	. . . 4 |- ( ph -> ( A O C <-> ( ( -. A e. D /\ -. C e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I C ) ) ) )
116	113, 115	mpbid 214	. . 3 |- ( ph -> ( ( -. A e. D /\ -. C e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I C ) ) )
117	116	simprd 465	. 2 |- ( ph -> E. t e. D t e. ( A I C ) )
118	112, 117	r19.29a 2932	1 |- ( ph -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   E.wrex 2738   \ cdif 3401   class class class wbr 4402   {copab 4460   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   distcds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  LineGclng 24485  ≤Gcleg 24627  hlGchlg 24645  pInvGcmir 24697  ⟂Gcperpg 24740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-leg 24628  df-hlg 24646  df-mir 24698  df-rag 24739  df-perpg 24741

This theorem is referenced by:  opphllem4  24792  opphllem6  24794