MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem Structured version   Unicode version

Theorem opphllem 24326
Description: Lemma 8.24 of [Schwabhauser] p. 66. This is used later for mideulem 24327 and later for opphl 24342 (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
colperpex.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
colperpex.i  |-  I  =  (Itv `  G )
colperpex.l  |-  L  =  (LineG `  G )
colperpex.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mideu.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mideu.1  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mideu.2  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
mideulem.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
mideulem.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  P )
mideulem.3  |-  ( ph  ->  O  e.  P )
mideulem.4  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
mideulem.5  |-  ( ph  ->  ( A L B ) (⟂G `  G
) ( Q L B ) )
mideulem.6  |-  ( ph  ->  ( A L B ) (⟂G `  G
) ( A L O ) )
mideulem.7  |-  ( ph  ->  T  e.  ( A L B ) )
mideulem.8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Q I O ) )
opphllem.1  |-  ( ph  ->  R  e.  P )
opphllem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( B I Q ) )
opphllem.3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  O
)  =  ( B 
.-  R ) )
Assertion
Ref Expression
opphllem  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( B  =  (
( S `  x
) `  A )  /\  O  =  (
( S `  x
) `  R )
) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x, A   
x, B    x, I    x, O    x, P    x, Q    x, R    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    G( x)    L( x)

Proof of Theorem opphllem
Dummy variables  m  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 colperpex.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 colperpex.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
4 colperpex.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
5 mideu.s . . . 4  |-  S  =  (pInvG `  G )
6 colperpex.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
8 eqid 2457 . . . 4  |-  ( S `
 x )  =  ( S `  x
)
9 mideu.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  B  e.  P )
11 mideulem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  P )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  O  e.  P )
13 mideu.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  A  e.  P )
15 opphllem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  P )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  R  e.  P )
17 simprl 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  P )
18 mideulem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
1918necomd 2728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
2019neneqd 2659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  B  =  A )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  -.  B  =  A )
22 mideulem.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A L B ) (⟂G `  G
) ( A L O ) )
234, 6, 22perpln2 24305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A L O )  e.  ran  L
)
241, 3, 4, 6, 13, 11, 23tglnne 24225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  =/=  O )
2524necomd 2728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  O  =/=  A )
2625neneqd 2659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  O  =  A )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  -.  O  =  A )
2821, 27jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  ( -.  B  =  A  /\  -.  O  =  A
) )
296adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  G  e. TarskiG )
309adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  B  e.  P )
3113adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  A  e.  P )
3211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  O  e.  P )
331, 3, 4, 6, 9, 13, 19tglinerflx2 24231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  ( B L A ) )
341, 3, 4, 6, 13, 9, 18tglinecom 24232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A L B )  =  ( B L A ) )
3534, 22eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B L A ) (⟂G `  G
) ( A L O ) )
361, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 33, 11, 35perprag 24317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  <" B A O ">  e.  (∟G `  G ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  <" B A O ">  e.  (∟G `  G ) )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  O  e.  ( B L A ) )
3938orcd 392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  ( O  e.  ( B L A )  \/  B  =  A ) )
401, 2, 3, 4, 5, 29, 30, 31, 32, 37, 39ragflat3 24300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  ( B  =  A  \/  O  =  A ) )
41 oran 496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  =  A  \/  O  =  A )  <->  -.  ( -.  B  =  A  /\  -.  O  =  A ) )
4240, 41sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  -.  ( -.  B  =  A  /\  -.  O  =  A ) )
4328, 42pm2.65da 576 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  O  e.  ( B L A ) )
4443adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  O  e.  ( B L A ) )
4534adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( A L B )  =  ( B L A ) )
4644, 45neleqtrrd 2570 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  O  e.  ( A L B ) )
4718adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  A  =/=  B )
4847neneqd 2659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  A  =  B )
4946, 48jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( -.  O  e.  ( A L B )  /\  -.  A  =  B )
)
50 pm4.56 495 . . . . . 6  |-  ( ( -.  O  e.  ( A L B )  /\  -.  A  =  B )  <->  -.  ( O  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
5149, 50sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  ( O  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
521, 4, 3, 7, 14, 10, 12, 51ncolrot2 24167 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  ( B  e.  ( O L A )  \/  O  =  A ) )
53 simprrr 766 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( R I O ) )
541, 2, 3, 7, 16, 17, 12, 53tgbtwncom 24096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( O I R ) )
55 mideulem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
5655adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  T  e.  P )
57 mideulem.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( A L B ) )
5857adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  T  e.  ( A L B ) )
59 simprrl 765 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( T I B ) )
601, 3, 4, 7, 56, 14, 10, 17, 58, 59coltr3 24246 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( A L B ) )
6143, 34neleqtrrd 2570 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  O  e.  ( A L B ) )
6261adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  O  e.  ( A L B ) )
63 nelne2 2787 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( A L B )  /\  -.  O  e.  ( A L B ) )  ->  x  =/=  O
)
6460, 62, 63syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  =/=  O )
651, 2, 3, 7, 12, 17, 16, 54, 64tgbtwnne 24098 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  O  =/=  R )
661, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 13, 11israg 24291 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( <" B A O ">  e.  (∟G `  G )  <->  ( B  .-  O )  =  ( B  .-  ( ( S `  A ) `
 O ) ) ) )
6736, 66mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .-  O
)  =  ( B 
.-  ( ( S `
 A ) `  O ) ) )
6867ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( B  .-  O )  =  ( B  .-  (
( S `  A
) `  O )
) )
696ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
70 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 A )  =  ( S `  A
)
711, 2, 3, 4, 5, 7, 14, 70, 12mircl 24259 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( ( S `  A ) `  O )  e.  P
)
7271ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
( S `  A
) `  O )  e.  P )
7313ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  A  e.  P )
7411ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  O  e.  P )
7515ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  R  e.  P )
769ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  B  e.  P )
77 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  s  e.  P )
781, 2, 3, 4, 5, 69, 73, 70, 74mirbtwn 24256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  A  e.  ( ( ( S `
 A ) `  O ) I O ) )
79 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 B )  =  ( S `  B
)
801, 2, 3, 4, 5, 69, 76, 79, 77mirbtwn 24256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  B  e.  ( ( ( S `
 B ) `  s ) I s ) )
81 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  R  =  ( ( S `
 m ) `  s ) )
8269ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  G  e. TarskiG )
8373ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  A  e.  P )
8476ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  B  e.  P )
8547ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  A  =/=  B )
86 mideulem.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Q  e.  P )
8786ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  Q  e.  P )
8874ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  O  e.  P )
8956ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  T  e.  P )
90 mideulem.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A L B ) (⟂G `  G
) ( Q L B ) )
9190ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  ( A L B ) (⟂G `  G ) ( Q L B ) )
9222ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  ( A L B ) (⟂G `  G ) ( A L O ) )
9358ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  T  e.  ( A L B ) )
94 mideulem.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Q I O ) )
9594ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  T  e.  ( Q I O ) )
9675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  R  e.  P )
97 opphllem.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  R  e.  ( B I Q ) )
9897ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  R  e.  ( B I Q ) )
99 opphllem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  .-  O
)  =  ( B 
.-  R ) )
10099ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  ( A  .-  O )  =  ( B  .-  R
) )
10117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  x  e.  P )
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  x  e.  P )
103 simp-5r 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  (
x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )
104103simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) )
105104simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  x  e.  ( T I B ) )
106104simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  x  e.  ( R I O ) )
10777ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  s  e.  P )
108 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )
109108simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  x  e.  ( ( ( S `
 A ) `  O ) I s ) )
110 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) )
111110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  (
x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) )
112 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  m  e.  P )
1131, 2, 3, 4, 82, 5, 83, 84, 85, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 95, 96, 98, 100, 102, 105, 106, 107, 109, 111, 112, 81mideulem2 24325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  B  =  m )
114113eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  m  =  B )
115114fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  ( S `  m )  =  ( S `  B ) )
116115fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  (
( S `  m
) `  s )  =  ( ( S `
 B ) `  s ) )
11781, 116eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  R  =  ( ( S `
 B ) `  s ) )
118 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S `
 m )  =  ( S `  m
)
1191, 2, 3, 4, 5, 69, 118, 77, 75, 101, 110midexlem 24286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  E. m  e.  P  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )
120117, 119r19.29a 2999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  R  =  ( ( S `
 B ) `  s ) )
121120oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( R I s )  =  ( ( ( S `  B ) `
 s ) I s ) )
12280, 121eleqtrrd 2548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  B  e.  ( R I s ) )
1231, 2, 3, 4, 5, 69, 73, 70, 74mircgr 24255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( A  .-  ( ( S `
 A ) `  O ) )  =  ( A  .-  O
) )
12499ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( A  .-  O )  =  ( B  .-  R
) )
125123, 124eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( A  .-  ( ( S `
 A ) `  O ) )  =  ( B  .-  R
) )
1261, 2, 3, 69, 73, 72, 76, 75, 125tgcgrcomlr 24088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
( ( S `  A ) `  O
)  .-  A )  =  ( R  .-  B ) )
127120oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( B  .-  R )  =  ( B  .-  (
( S `  B
) `  s )
) )
1281, 2, 3, 4, 5, 69, 76, 79, 77mircgr 24255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( B  .-  ( ( S `
 B ) `  s ) )  =  ( B  .-  s
) )
129124, 127, 1283eqtrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( A  .-  O )  =  ( B  .-  s
) )
1301, 2, 3, 69, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 122, 126, 129tgcgrextend 24093 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
( ( S `  A ) `  O
)  .-  O )  =  ( R  .-  s ) )
1311, 2, 3, 69, 72, 75axtgcgrrflx 24076 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
( ( S `  A ) `  O
)  .-  R )  =  ( R  .-  ( ( S `  A ) `  O
) ) )
1321, 2, 3, 69, 74, 75axtgcgrrflx 24076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( O  .-  R )  =  ( R  .-  O
) )
13353ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  x  e.  ( R I O ) )
134 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  x  e.  ( ( ( S `
 A ) `  O ) I s ) )
1351, 2, 3, 69, 72, 101, 77, 134tgbtwncom 24096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  x  e.  ( s I ( ( S `  A
) `  O )
) )
1361, 2, 3, 69, 101, 77, 101, 75, 110tgcgrcomlr 24088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
s  .-  x )  =  ( R  .-  x ) )
137136eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( R  .-  x )  =  ( s  .-  x
) )
13836ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  <" B A O ">  e.  (∟G `  G ) )
13947necomd 2728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  B  =/=  A )
140139ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  B  =/=  A )
14160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  x  e.  ( A L B ) )
142141orcd 392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
x  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
1431, 4, 3, 69, 73, 76, 101, 142colcom 24162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
x  e.  ( B L A )  \/  B  =  A ) )
1441, 4, 3, 69, 76, 73, 101, 143colrot1 24163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( B  e.  ( A L x )  \/  A  =  x ) )
1451, 2, 3, 4, 5, 69, 76, 73, 74, 101, 138, 140, 144ragcol 24293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  <" x A O ">  e.  (∟G `  G ) )
1461, 2, 3, 4, 5, 69, 101, 73, 74israg 24291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( <" x A O ">  e.  (∟G `  G )  <->  ( x  .-  O )  =  ( x  .-  ( ( S `  A ) `
 O ) ) ) )
147145, 146mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
x  .-  O )  =  ( x  .-  ( ( S `  A ) `  O
) ) )
1481, 2, 3, 69, 75, 101, 74, 77, 101, 72, 133, 135, 137, 147tgcgrextend 24093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( R  .-  O )  =  ( s  .-  (
( S `  A
) `  O )
) )
149132, 148eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( O  .-  R )  =  ( s  .-  (
( S `  A
) `  O )
) )
1501, 2, 3, 69, 72, 73, 74, 75, 75, 76, 77, 72, 78, 122, 130, 129, 131, 149tgifscgr 24117 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( A  .-  R )  =  ( B  .-  (
( S `  A
) `  O )
) )
15168, 150eqtr4d 2501 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( B  .-  O )  =  ( A  .-  R
) )
1521, 2, 3, 7, 71, 17, 17, 16axtgsegcon 24078 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  E. s  e.  P  ( x  e.  ( ( ( S `
 A ) `  O ) I s )  /\  ( x 
.-  s )  =  ( x  .-  R
) ) )
153151, 152r19.29a 2999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( B  .-  O )  =  ( A  .-  R ) )
15499adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( A  .-  O )  =  ( B  .-  R ) )
1551, 2, 3, 7, 14, 12, 10, 16, 154tgcgrcomlr 24088 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( O  .-  A )  =  ( R  .-  B ) )
156143, 152r19.29a 2999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( B L A )  \/  B  =  A ) )
1571, 4, 3, 7, 12, 16, 17, 54btwncolg1 24159 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( O L R )  \/  O  =  R ) )
1581, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 52, 65, 153, 155, 156, 157symquadlem 24283 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  B  =  ( ( S `  x ) `  A
) )
1591, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 8, 14mirbtwn 24256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( ( S `
 x ) `  A ) I A ) )
160158oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( B I A )  =  ( ( ( S `  x ) `  A
) I A ) )
161159, 160eleqtrrd 2548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( B I A ) )
1621, 2, 3, 7, 10, 17, 14, 161tgbtwncom 24096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( A I B ) )
1631, 2, 3, 7, 14, 10axtgcgrrflx 24076 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( B  .-  A ) )
164158oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  .-  B )  =  ( x  .-  ( ( S `  x ) `
 A ) ) )
1651, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 8, 14mircgr 24255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  .-  ( ( S `  x ) `  A
) )  =  ( x  .-  A ) )
166164, 165eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  .-  B )  =  ( x  .-  A ) )
1671, 2, 3, 7, 14, 17, 10, 12, 10, 17, 14, 16, 162, 161, 163, 166, 154, 153tgifscgr 24117 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  .-  O )  =  ( x  .-  R ) )
1681, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 8, 16, 12, 167, 54ismir 24257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  O  =  ( ( S `  x ) `  R
) )
169158, 168jca 532 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( B  =  ( ( S `
 x ) `  A )  /\  O  =  ( ( S `
 x ) `  R ) ) )
1701, 2, 3, 6, 86, 55, 11, 94tgbtwncom 24096 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( O I Q ) )
1711, 2, 3, 6, 11, 9, 86, 55, 15, 170, 97axtgpasch 24081 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) )
172169, 171reximddv 2933 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( B  =  (
( S `  x
) `  A )  /\  O  =  (
( S `  x
) `  R )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   <"cs3 12819   Basecbs 14735   distcds 14812  TarskiGcstrkg 24042  Itvcitv 24049  LineGclng 24050  pInvGcmir 24250  ∟Gcrag 24287  ⟂Gcperpg 24289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-s2 12825  df-s3 12826  df-trkgc 24061  df-trkgb 24062  df-trkgcb 24063  df-trkg 24067  df-cgrg 24120  df-leg 24187  df-mir 24251  df-rag 24288  df-perpg 24290
This theorem is referenced by:  mideulem  24327  opphllem3  24338
  Copyright terms: Public domain W3C validator