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Theorem opphllem 24769
Description: Lemma 8.24 of [Schwabhauser] p. 66. This is used later for mideulem 24770 and later for opphl 24788 (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
colperpex.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
colperpex.i  |-  I  =  (Itv `  G )
colperpex.l  |-  L  =  (LineG `  G )
colperpex.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mideu.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mideu.1  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mideu.2  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
mideulem.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
mideulem.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  P )
mideulem.3  |-  ( ph  ->  O  e.  P )
mideulem.4  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
mideulem.5  |-  ( ph  ->  ( A L B ) (⟂G `  G
) ( Q L B ) )
mideulem.6  |-  ( ph  ->  ( A L B ) (⟂G `  G
) ( A L O ) )
mideulem.7  |-  ( ph  ->  T  e.  ( A L B ) )
mideulem.8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Q I O ) )
opphllem.1  |-  ( ph  ->  R  e.  P )
opphllem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( B I Q ) )
opphllem.3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  O
)  =  ( B 
.-  R ) )
Assertion
Ref Expression
opphllem  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( B  =  (
( S `  x
) `  A )  /\  O  =  (
( S `  x
) `  R )
) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x, A   
x, B    x, I    x, O    x, P    x, Q    x, R    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    G( x)    L( x)

Proof of Theorem opphllem
Dummy variables  m  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 colperpex.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 colperpex.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
4 colperpex.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
5 mideu.s . . . 4  |-  S  =  (pInvG `  G )
6 colperpex.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
8 eqid 2423 . . . 4  |-  ( S `
 x )  =  ( S `  x
)
9 mideu.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
109adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  B  e.  P )
11 mideulem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  P )
1211adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  O  e.  P )
13 mideu.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1413adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  A  e.  P )
15 opphllem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  P )
1615adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  R  e.  P )
17 simprl 763 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  P )
18 mideulem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
1918necomd 2696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
2019neneqd 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  B  =  A )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  -.  B  =  A )
22 mideulem.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A L B ) (⟂G `  G
) ( A L O ) )
234, 6, 22perpln2 24748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A L O )  e.  ran  L
)
241, 3, 4, 6, 13, 11, 23tglnne 24665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  =/=  O )
2524necomd 2696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  O  =/=  A )
2625neneqd 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  O  =  A )
2726adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  -.  O  =  A )
2821, 27jca 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  ( -.  B  =  A  /\  -.  O  =  A
) )
296adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  G  e. TarskiG )
309adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  B  e.  P )
3113adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  A  e.  P )
3211adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  O  e.  P )
331, 3, 4, 6, 9, 13, 19tglinerflx2 24671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  ( B L A ) )
341, 3, 4, 6, 13, 9, 18tglinecom 24672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A L B )  =  ( B L A ) )
3534, 22eqbrtrrd 4444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B L A ) (⟂G `  G
) ( A L O ) )
361, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 33, 11, 35perprag 24760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  <" B A O ">  e.  (∟G `  G ) )
3736adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  <" B A O ">  e.  (∟G `  G ) )
38 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  O  e.  ( B L A ) )
3938orcd 394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  ( O  e.  ( B L A )  \/  B  =  A ) )
401, 2, 3, 4, 5, 29, 30, 31, 32, 37, 39ragflat3 24743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  ( B  =  A  \/  O  =  A ) )
41 oran 499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  =  A  \/  O  =  A )  <->  -.  ( -.  B  =  A  /\  -.  O  =  A ) )
4240, 41sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  O  e.  ( B L A ) )  ->  -.  ( -.  B  =  A  /\  -.  O  =  A ) )
4328, 42pm2.65da 579 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  O  e.  ( B L A ) )
4443adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  O  e.  ( B L A ) )
4534adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( A L B )  =  ( B L A ) )
4644, 45neleqtrrd 2536 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  O  e.  ( A L B ) )
4718adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  A  =/=  B )
4847neneqd 2626 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  A  =  B )
4946, 48jca 535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( -.  O  e.  ( A L B )  /\  -.  A  =  B )
)
50 pm4.56 498 . . . . . 6  |-  ( ( -.  O  e.  ( A L B )  /\  -.  A  =  B )  <->  -.  ( O  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
5149, 50sylib 200 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  ( O  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
521, 4, 3, 7, 14, 10, 12, 51ncolrot2 24600 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  ( B  e.  ( O L A )  \/  O  =  A ) )
53 simprrr 774 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( R I O ) )
541, 2, 3, 7, 16, 17, 12, 53tgbtwncom 24524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( O I R ) )
55 mideulem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
5655adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  T  e.  P )
57 mideulem.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( A L B ) )
5857adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  T  e.  ( A L B ) )
59 simprrl 773 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( T I B ) )
601, 3, 4, 7, 56, 14, 10, 17, 58, 59coltr3 24685 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( A L B ) )
6143, 34neleqtrrd 2536 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  O  e.  ( A L B ) )
6261adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  -.  O  e.  ( A L B ) )
63 nelne2 2755 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( A L B )  /\  -.  O  e.  ( A L B ) )  ->  x  =/=  O
)
6460, 62, 63syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  =/=  O )
651, 2, 3, 7, 12, 17, 16, 54, 64tgbtwnne 24526 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  O  =/=  R )
661, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 13, 11israg 24734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( <" B A O ">  e.  (∟G `  G )  <->  ( B  .-  O )  =  ( B  .-  ( ( S `  A ) `
 O ) ) ) )
6736, 66mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .-  O
)  =  ( B 
.-  ( ( S `
 A ) `  O ) ) )
6867ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( B  .-  O )  =  ( B  .-  (
( S `  A
) `  O )
) )
696ad3antrrr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
70 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 A )  =  ( S `  A
)
711, 2, 3, 4, 5, 7, 14, 70, 12mircl 24698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( ( S `  A ) `  O )  e.  P
)
7271ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
( S `  A
) `  O )  e.  P )
7313ad3antrrr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  A  e.  P )
7411ad3antrrr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  O  e.  P )
7515ad3antrrr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  R  e.  P )
769ad3antrrr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  B  e.  P )
77 simplr 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  s  e.  P )
781, 2, 3, 4, 5, 69, 73, 70, 74mirbtwn 24695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  A  e.  ( ( ( S `
 A ) `  O ) I O ) )
79 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 B )  =  ( S `  B
)
801, 2, 3, 4, 5, 69, 76, 79, 77mirbtwn 24695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  B  e.  ( ( ( S `
 B ) `  s ) I s ) )
81 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  R  =  ( ( S `
 m ) `  s ) )
8269ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  G  e. TarskiG )
8373ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  A  e.  P )
8476ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  B  e.  P )
8547ad4antr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  A  =/=  B )
86 mideulem.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Q  e.  P )
8786ad5antr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  Q  e.  P )
8874ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  O  e.  P )
8956ad4antr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  T  e.  P )
90 mideulem.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A L B ) (⟂G `  G
) ( Q L B ) )
9190ad5antr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  ( A L B ) (⟂G `  G ) ( Q L B ) )
9222ad5antr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  ( A L B ) (⟂G `  G ) ( A L O ) )
9358ad4antr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  T  e.  ( A L B ) )
94 mideulem.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Q I O ) )
9594ad5antr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  T  e.  ( Q I O ) )
9675ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  R  e.  P )
97 opphllem.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  R  e.  ( B I Q ) )
9897ad5antr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  R  e.  ( B I Q ) )
99 opphllem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  .-  O
)  =  ( B 
.-  R ) )
10099ad5antr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  ( A  .-  O )  =  ( B  .-  R
) )
10117ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  x  e.  P )
102101ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  x  e.  P )
103 simp-5r 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  (
x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )
104103simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) )
105104simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  x  e.  ( T I B ) )
106104simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  x  e.  ( R I O ) )
10777ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  s  e.  P )
108 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )
109108simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  x  e.  ( ( ( S `
 A ) `  O ) I s ) )
110 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) )
111110ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  (
x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) )
112 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  m  e.  P )
1131, 2, 3, 4, 82, 5, 83, 84, 85, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 95, 96, 98, 100, 102, 105, 106, 107, 109, 111, 112, 81mideulem2 24768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  B  =  m )
114113eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  m  =  B )
115114fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  ( S `  m )  =  ( S `  B ) )
116115fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  (
( S `  m
) `  s )  =  ( ( S `
 B ) `  s ) )
11781, 116eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  (
x  e.  ( ( ( S `  A
) `  O )
I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  /\  m  e.  P
)  /\  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )  ->  R  =  ( ( S `
 B ) `  s ) )
118 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S `
 m )  =  ( S `  m
)
1191, 2, 3, 4, 5, 69, 118, 77, 75, 101, 110midexlem 24729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  E. m  e.  P  R  =  ( ( S `  m ) `  s
) )
120117, 119r19.29a 2971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  R  =  ( ( S `
 B ) `  s ) )
121120oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( R I s )  =  ( ( ( S `  B ) `
 s ) I s ) )
12280, 121eleqtrrd 2514 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  B  e.  ( R I s ) )
1231, 2, 3, 4, 5, 69, 73, 70, 74mircgr 24694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( A  .-  ( ( S `
 A ) `  O ) )  =  ( A  .-  O
) )
12499ad3antrrr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( A  .-  O )  =  ( B  .-  R
) )
125123, 124eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( A  .-  ( ( S `
 A ) `  O ) )  =  ( B  .-  R
) )
1261, 2, 3, 69, 73, 72, 76, 75, 125tgcgrcomlr 24516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
( ( S `  A ) `  O
)  .-  A )  =  ( R  .-  B ) )
127120oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( B  .-  R )  =  ( B  .-  (
( S `  B
) `  s )
) )
1281, 2, 3, 4, 5, 69, 76, 79, 77mircgr 24694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( B  .-  ( ( S `
 B ) `  s ) )  =  ( B  .-  s
) )
129124, 127, 1283eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( A  .-  O )  =  ( B  .-  s
) )
1301, 2, 3, 69, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 122, 126, 129tgcgrextend 24521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
( ( S `  A ) `  O
)  .-  O )  =  ( R  .-  s ) )
1311, 2, 3, 69, 72, 75axtgcgrrflx 24502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
( ( S `  A ) `  O
)  .-  R )  =  ( R  .-  ( ( S `  A ) `  O
) ) )
1321, 2, 3, 69, 74, 75axtgcgrrflx 24502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( O  .-  R )  =  ( R  .-  O
) )
13353ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  x  e.  ( R I O ) )
134 simprl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  x  e.  ( ( ( S `
 A ) `  O ) I s ) )
1351, 2, 3, 69, 72, 101, 77, 134tgbtwncom 24524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  x  e.  ( s I ( ( S `  A
) `  O )
) )
1361, 2, 3, 69, 101, 77, 101, 75, 110tgcgrcomlr 24516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
s  .-  x )  =  ( R  .-  x ) )
137136eqcomd 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( R  .-  x )  =  ( s  .-  x
) )
13836ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  <" B A O ">  e.  (∟G `  G ) )
13947necomd 2696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  B  =/=  A )
140139ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  B  =/=  A )
14160ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  x  e.  ( A L B ) )
142141orcd 394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
x  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
1431, 4, 3, 69, 73, 76, 101, 142colcom 24595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
x  e.  ( B L A )  \/  B  =  A ) )
1441, 4, 3, 69, 76, 73, 101, 143colrot1 24596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( B  e.  ( A L x )  \/  A  =  x ) )
1451, 2, 3, 4, 5, 69, 76, 73, 74, 101, 138, 140, 144ragcol 24736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  <" x A O ">  e.  (∟G `  G ) )
1461, 2, 3, 4, 5, 69, 101, 73, 74israg 24734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( <" x A O ">  e.  (∟G `  G )  <->  ( x  .-  O )  =  ( x  .-  ( ( S `  A ) `
 O ) ) ) )
147145, 146mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  (
x  .-  O )  =  ( x  .-  ( ( S `  A ) `  O
) ) )
1481, 2, 3, 69, 75, 101, 74, 77, 101, 72, 133, 135, 137, 147tgcgrextend 24521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( R  .-  O )  =  ( s  .-  (
( S `  A
) `  O )
) )
149132, 148eqtrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( O  .-  R )  =  ( s  .-  (
( S `  A
) `  O )
) )
1501, 2, 3, 69, 72, 73, 74, 75, 75, 76, 77, 72, 78, 122, 130, 129, 131, 149tgifscgr 24545 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( A  .-  R )  =  ( B  .-  (
( S `  A
) `  O )
) )
15168, 150eqtr4d 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  P  /\  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  /\  s  e.  P )  /\  ( x  e.  ( ( ( S `  A ) `  O
) I s )  /\  ( x  .-  s )  =  ( x  .-  R ) ) )  ->  ( B  .-  O )  =  ( A  .-  R
) )
1521, 2, 3, 7, 71, 17, 17, 16axtgsegcon 24504 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  E. s  e.  P  ( x  e.  ( ( ( S `
 A ) `  O ) I s )  /\  ( x 
.-  s )  =  ( x  .-  R
) ) )
153151, 152r19.29a 2971 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( B  .-  O )  =  ( A  .-  R ) )
15499adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( A  .-  O )  =  ( B  .-  R ) )
1551, 2, 3, 7, 14, 12, 10, 16, 154tgcgrcomlr 24516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( O  .-  A )  =  ( R  .-  B ) )
156143, 152r19.29a 2971 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( B L A )  \/  B  =  A ) )
1571, 4, 3, 7, 12, 16, 17, 54btwncolg1 24592 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( O L R )  \/  O  =  R ) )
1581, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 52, 65, 153, 155, 156, 157symquadlem 24726 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  B  =  ( ( S `  x ) `  A
) )
1591, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 8, 14mirbtwn 24695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( ( S `
 x ) `  A ) I A ) )
160158oveq1d 6318 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( B I A )  =  ( ( ( S `  x ) `  A
) I A ) )
161159, 160eleqtrrd 2514 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( B I A ) )
1621, 2, 3, 7, 10, 17, 14, 161tgbtwncom 24524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  x  e.  ( A I B ) )
1631, 2, 3, 7, 14, 10axtgcgrrflx 24502 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( B  .-  A ) )
164158oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  .-  B )  =  ( x  .-  ( ( S `  x ) `
 A ) ) )
1651, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 8, 14mircgr 24694 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  .-  ( ( S `  x ) `  A
) )  =  ( x  .-  A ) )
166164, 165eqtrd 2464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  .-  B )  =  ( x  .-  A ) )
1671, 2, 3, 7, 14, 17, 10, 12, 10, 17, 14, 16, 162, 161, 163, 166, 154, 153tgifscgr 24545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( x  .-  O )  =  ( x  .-  R ) )
1681, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 8, 16, 12, 167, 54ismir 24696 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  O  =  ( ( S `  x ) `  R
) )
169158, 168jca 535 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) ) )  ->  ( B  =  ( ( S `
 x ) `  A )  /\  O  =  ( ( S `
 x ) `  R ) ) )
1701, 2, 3, 6, 86, 55, 11, 94tgbtwncom 24524 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( O I Q ) )
1711, 2, 3, 6, 11, 9, 86, 55, 15, 170, 97axtgpasch 24507 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( T I B )  /\  x  e.  ( R I O ) ) )
172169, 171reximddv 2902 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( B  =  (
( S `  x
) `  A )  /\  O  =  (
( S `  x
) `  R )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   E.wrex 2777   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   <"cs3 12934   Basecbs 15114   distcds 15192  TarskiGcstrkg 24470  Itvcitv 24476  LineGclng 24477  pInvGcmir 24689  ∟Gcrag 24730  ⟂Gcperpg 24732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-hash 12517  df-word 12662  df-concat 12664  df-s1 12665  df-s2 12940  df-s3 12941  df-trkgc 24488  df-trkgb 24489  df-trkgcb 24490  df-trkg 24493  df-cgrg 24548  df-leg 24620  df-mir 24690  df-rag 24731  df-perpg 24733
This theorem is referenced by:  mideulem  24770  opphllem3  24783
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