MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtmd Structured version   Unicode version

Theorem oppgtmd 20324
Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgtmd  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )

Proof of Theorem oppgtmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdmnd 20302 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
2 oppgtmd.1 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  G )
32oppgmnd 16177 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  O  e.  Mnd )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e.  Mnd )
5 eqid 2460 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
6 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
75, 6tmdtopon 20308 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( TopOpen `  G
)  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
82, 6oppgbas 16174 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
92, 5oppgtopn 16176 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  O )
108, 9istps 19197 . . 3  |-  ( O  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
117, 10sylibr 212 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e.  TopSp )
12 eqid 2460 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
13 id 22 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e. TopMnd )
147, 7cnmpt2nd 19898 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  y )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
157, 7cnmpt1st 19897 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
165, 12, 13, 7, 7, 14, 15cnmpt2plusg 20315 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
17 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
18 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( +f `  O )  =  ( +f `  O )
198, 17, 18plusffval 15733 . . . 4  |-  ( +f `  O )  =  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2012, 2, 17oppgplus 16172 . . . . 5  |-  ( x ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )
216, 6, 20mpt2eq123i 6335 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G )  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
2219, 21eqtr2i 2490 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ( +f `  O )
2322, 9istmd 20301 . 2  |-  ( O  e. TopMnd 
<->  ( O  e.  Mnd  /\  O  e.  TopSp  /\  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
244, 11, 16, 23syl3anbrc 1175 1  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   TopOpenctopn 14666   Mndcmnd 15715   +fcplusf 15718  oppgcoppg 16168  TopOnctopon 19155   TopSpctps 19157    Cn ccn 19484    tX ctx 19789  TopMndctmd 20297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-tset 14563  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-topgen 14688  df-mnd 15721  df-plusf 15722  df-oppg 16169  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cn 19487  df-tx 19791  df-tmd 20299
This theorem is referenced by:  oppgtgp  20325
  Copyright terms: Public domain W3C validator