MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtmd Structured version   Unicode version

Theorem oppgtmd 21043
Description: The opposite of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgtmd  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )

Proof of Theorem oppgtmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdmnd 21021 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
2 oppgtmd.1 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  G )
32oppgmnd 16956 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  O  e.  Mnd )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e.  Mnd )
5 eqid 2429 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
6 eqid 2429 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
75, 6tmdtopon 21027 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( TopOpen `  G
)  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
82, 6oppgbas 16953 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
92, 5oppgtopn 16955 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  O )
108, 9istps 19882 . . 3  |-  ( O  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
117, 10sylibr 215 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e.  TopSp )
12 eqid 2429 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
13 id 23 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e. TopMnd )
147, 7cnmpt2nd 20615 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  y )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
157, 7cnmpt1st 20614 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
165, 12, 13, 7, 7, 14, 15cnmpt2plusg 21034 . 2  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
17 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
18 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( +f `  O )  =  ( +f `  O )
198, 17, 18plusffval 16444 . . . 4  |-  ( +f `  O )  =  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2012, 2, 17oppgplus 16951 . . . . 5  |-  ( x ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )
216, 6, 20mpt2eq123i 6368 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G )  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
2219, 21eqtr2i 2459 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ( +f `  O )
2322, 9istmd 21020 . 2  |-  ( O  e. TopMnd 
<->  ( O  e.  Mnd  /\  O  e.  TopSp  /\  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
244, 11, 16, 23syl3anbrc 1189 1  |-  ( G  e. TopMnd  ->  O  e. TopMnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   TopOpenctopn 15279   +fcplusf 16436   Mndcmnd 16486  oppgcoppg 16947  TopOnctopon 19849   TopSpctps 19850    Cn ccn 20171    tX ctx 20506  TopMndctmd 21016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-tset 15171  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-topgen 15301  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-oppg 16948  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-tx 20508  df-tmd 21018
This theorem is referenced by:  oppgtgp  21044
  Copyright terms: Public domain W3C validator