MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem oppgsubm 17013
Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgsubm  |-  (SubMnd `  G )  =  (SubMnd `  O )

Proof of Theorem oppgsubm
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 16593 . . 3  |-  ( x  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
2 submrcl 16593 . . . 4  |-  ( x  e.  (SubMnd `  O
)  ->  O  e.  Mnd )
3 oppggic.o . . . . 5  |-  O  =  (oppg
`  G )
43oppgmndb 17006 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  <->  O  e.  Mnd )
52, 4sylibr 216 . . 3  |-  ( x  e.  (SubMnd `  O
)  ->  G  e.  Mnd )
6 ralcom 2951 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  x )
7 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
97, 3, 8oppgplus 17000 . . . . . . . . 9  |-  ( z ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) z )
109eleq1i 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( z ( +g  `  O
) y )  e.  x  <->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  x
)
11102ralbii 2820 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( +g  `  O
) y )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  x )
126, 11bitr4i 256 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z ( +g  `  O ) y )  e.  x )
13123anbi3i 1201 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  x
)  <->  ( x  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( +g  `  O
) y )  e.  x ) )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
( x  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  x )  <->  ( x  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z ( +g  `  O ) y )  e.  x ) ) )
15 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
16 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
1715, 16, 7issubm 16594 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
x  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( x  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  x ) ) )
183, 15oppgbas 17002 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
193, 16oppgid 17007 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  O
)
2018, 19, 8issubm 16594 . . . . 5  |-  ( O  e.  Mnd  ->  (
x  e.  (SubMnd `  O )  <->  ( x  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z ( +g  `  O ) y )  e.  x ) ) )
214, 20sylbi 199 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
x  e.  (SubMnd `  O )  <->  ( x  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z ( +g  `  O ) y )  e.  x ) ) )
2214, 17, 213bitr4d 289 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
x  e.  (SubMnd `  G )  <->  x  e.  (SubMnd `  O ) ) )
231, 5, 22pm5.21nii 355 . 2  |-  ( x  e.  (SubMnd `  G
)  <->  x  e.  (SubMnd `  O ) )
2423eqriv 2448 1  |-  (SubMnd `  G )  =  (SubMnd `  O )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    C_ wss 3404   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   0gc0g 15338   Mndcmnd 16535  SubMndcsubmnd 16581  oppgcoppg 16996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-oppg 16997
This theorem is referenced by:  oppgsubg  17014  gsumzoppg  17577
  Copyright terms: Public domain W3C validator