MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubm Structured version   Unicode version

Theorem oppgsubm 16199
Description: Being a submonoid is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgsubm  |-  (SubMnd `  G )  =  (SubMnd `  O )

Proof of Theorem oppgsubm
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 15793 . . 3  |-  ( x  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
2 submrcl 15793 . . . 4  |-  ( x  e.  (SubMnd `  O
)  ->  O  e.  Mnd )
3 oppggic.o . . . . 5  |-  O  =  (oppg
`  G )
43oppgmndb 16192 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  <->  O  e.  Mnd )
52, 4sylibr 212 . . 3  |-  ( x  e.  (SubMnd `  O
)  ->  G  e.  Mnd )
6 ralcom 3022 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  x )
7 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
97, 3, 8oppgplus 16186 . . . . . . . . 9  |-  ( z ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) z )
109eleq1i 2544 . . . . . . . 8  |-  ( ( z ( +g  `  O
) y )  e.  x  <->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  x
)
11102ralbii 2896 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( +g  `  O
) y )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  x )
126, 11bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z ( +g  `  O ) y )  e.  x )
13123anbi3i 1189 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  x
)  <->  ( x  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( +g  `  O
) y )  e.  x ) )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
( x  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  x )  <->  ( x  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z ( +g  `  O ) y )  e.  x ) ) )
15 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
16 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
1715, 16, 7issubm 15794 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
x  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( x  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  x ) ) )
183, 15oppgbas 16188 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
193, 16oppgid 16193 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  O
)
2018, 19, 8issubm 15794 . . . . 5  |-  ( O  e.  Mnd  ->  (
x  e.  (SubMnd `  O )  <->  ( x  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z ( +g  `  O ) y )  e.  x ) ) )
214, 20sylbi 195 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
x  e.  (SubMnd `  O )  <->  ( x  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z ( +g  `  O ) y )  e.  x ) ) )
2214, 17, 213bitr4d 285 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
x  e.  (SubMnd `  G )  <->  x  e.  (SubMnd `  O ) ) )
231, 5, 22pm5.21nii 353 . 2  |-  ( x  e.  (SubMnd `  G
)  <->  x  e.  (SubMnd `  O ) )
2423eqriv 2463 1  |-  (SubMnd `  G )  =  (SubMnd `  O )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   0gc0g 14694   Mndcmnd 15725  SubMndcsubmnd 15782  oppgcoppg 16182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-oppg 16183
This theorem is referenced by:  oppgsubg  16200  gsumzoppg  16767  gsumzoppgOLD  16768
  Copyright terms: Public domain W3C validator