MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubg Structured version   Unicode version

Theorem oppgsubg 16534
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
Assertion
Ref Expression
oppgsubg  |-  (SubGrp `  G )  =  (SubGrp `  O )

Proof of Theorem oppgsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 16342 . . 3  |-  ( x  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
2 subgrcl 16342 . . . 4  |-  ( x  e.  (SubGrp `  O
)  ->  O  e.  Grp )
3 oppggic.o . . . . 5  |-  O  =  (oppg
`  G )
43oppggrpb 16529 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  <->  O  e.  Grp )
52, 4sylibr 212 . . 3  |-  ( x  e.  (SubGrp `  O
)  ->  G  e.  Grp )
63oppgsubm 16533 . . . . . . 7  |-  (SubMnd `  G )  =  (SubMnd `  O )
76eleq2i 2470 . . . . . 6  |-  ( x  e.  (SubMnd `  G
)  <->  x  e.  (SubMnd `  O ) )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubMnd `  G )  <->  x  e.  (SubMnd `  O ) ) )
9 eqid 2392 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
103, 9oppginv 16530 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G )  =  ( invg `  O ) )
1110fveq1d 5789 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  ( ( invg `  O
) `  y )
)
1211eleq1d 2461 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  x  <->  ( ( invg `  O ) `
 y )  e.  x ) )
1312ralbidv 2831 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( A. y  e.  x  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  x  <->  A. y  e.  x  ( ( invg `  O ) `
 y )  e.  x ) )
148, 13anbi12d 708 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( x  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. y  e.  x  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  x )  <-> 
( x  e.  (SubMnd `  O )  /\  A. y  e.  x  (
( invg `  O ) `  y
)  e.  x ) ) )
159issubg3 16355 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( x  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. y  e.  x  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  x ) ) )
16 eqid 2392 . . . . . 6  |-  ( invg `  O )  =  ( invg `  O )
1716issubg3 16355 . . . . 5  |-  ( O  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  O )  <->  ( x  e.  (SubMnd `  O )  /\  A. y  e.  x  ( ( invg `  O ) `  y
)  e.  x ) ) )
184, 17sylbi 195 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  O )  <->  ( x  e.  (SubMnd `  O )  /\  A. y  e.  x  ( ( invg `  O ) `  y
)  e.  x ) ) )
1914, 15, 183bitr4d 285 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
x  e.  (SubGrp `  G )  <->  x  e.  (SubGrp `  O ) ) )
201, 5, 19pm5.21nii 351 . 2  |-  ( x  e.  (SubGrp `  G
)  <->  x  e.  (SubGrp `  O ) )
2120eqriv 2388 1  |-  (SubGrp `  G )  =  (SubGrp `  O )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2742   ` cfv 5509  SubMndcsubmnd 16101   Grpcgrp 16189   invgcminusg 16190  SubGrpcsubg 16331  oppgcoppg 16516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-tpos 6891  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-2 10529  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-0g 14868  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-submnd 16103  df-grp 16193  df-minusg 16194  df-subg 16334  df-oppg 16517
This theorem is referenced by:  lsmmod2  16830  lsmdisj2r  16839
  Copyright terms: Public domain W3C validator