MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Unicode version

Theorem oppgplusfval 15965
Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
oppgval.3  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppgplusfval.4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval  |-  .+b  = tpos  .+

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
2 oppgval.2 . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
3 fvex 5799 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  e.  _V
42, 3eqeltri 2535 . . . . . 6  |-  .+  e.  _V
54tposex 6879 . . . . 5  |- tpos  .+  e.  _V
6 plusgid 14375 . . . . . 6  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
76setsid 14317 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\ tpos  .+  e.  _V )  -> tpos  .+  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
) )
85, 7mpan2 671 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  -> tpos  .+  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
) )
9 oppgval.3 . . . . . 6  |-  O  =  (oppg
`  R )
102, 9oppgval 15964 . . . . 5  |-  O  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
1110fveq2i 5792 . . . 4  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
)
128, 11syl6reqr 2511 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  = tpos  .+  )
13 tpos0 6875 . . . . 5  |- tpos  (/)  =  (/)
146str0 14314 . . . . 5  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
1513, 14eqtr2i 2481 . . . 4  |-  ( +g  `  (/) )  = tpos  (/)
16 reldmsets 14298 . . . . . . 7  |-  Rel  dom sSet
1716ovprc1 6218 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )  =  (/) )
1810, 17syl5eq 2504 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  (/) )
1918fveq2d 5793 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  (/) ) )
20 fvprc 5783 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  R )  =  (/) )
212, 20syl5eq 2504 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .+  =  (/) )
2221tposeqd 6848 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  -> tpos  .+  = tpos 
(/) )
2315, 19, 223eqtr4a 2518 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  = tpos  .+  )
2412, 23pm2.61i 164 . 2  |-  ( +g  `  O )  = tpos  .+
251, 24eqtri 2480 1  |-  .+b  = tpos  .+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   (/)c0 3735   <.cop 3981   ` cfv 5516  (class class class)co 6190  tpos ctpos 6844   ndxcnx 14273   sSet csts 14274   +g cplusg 14340  oppgcoppg 15962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-oppg 15963
This theorem is referenced by:  oppgplus  15966
  Copyright terms: Public domain W3C validator