MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Unicode version

Theorem oppgplusfval 16178
Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
oppgval.3  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppgplusfval.4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval  |-  .+b  = tpos  .+

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
2 oppgval.2 . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
3 fvex 5874 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  e.  _V
42, 3eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  .+  e.  _V
54tposex 6986 . . . . 5  |- tpos  .+  e.  _V
6 plusgid 14586 . . . . . 6  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
76setsid 14527 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\ tpos  .+  e.  _V )  -> tpos  .+  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
) )
85, 7mpan2 671 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  -> tpos  .+  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
) )
9 oppgval.3 . . . . . 6  |-  O  =  (oppg
`  R )
102, 9oppgval 16177 . . . . 5  |-  O  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
1110fveq2i 5867 . . . 4  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
)
128, 11syl6reqr 2527 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  = tpos  .+  )
13 tpos0 6982 . . . . 5  |- tpos  (/)  =  (/)
146str0 14524 . . . . 5  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
1513, 14eqtr2i 2497 . . . 4  |-  ( +g  `  (/) )  = tpos  (/)
16 reldmsets 14508 . . . . . . 7  |-  Rel  dom sSet
1716ovprc1 6310 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )  =  (/) )
1810, 17syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  (/) )
1918fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  (/) ) )
20 fvprc 5858 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  R )  =  (/) )
212, 20syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .+  =  (/) )
2221tposeqd 6955 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  -> tpos  .+  = tpos 
(/) )
2315, 19, 223eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  = tpos  .+  )
2412, 23pm2.61i 164 . 2  |-  ( +g  `  O )  = tpos  .+
251, 24eqtri 2496 1  |-  .+b  = tpos  .+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   <.cop 4033   ` cfv 5586  (class class class)co 6282  tpos ctpos 6951   ndxcnx 14483   sSet csts 14484   +g cplusg 14551  oppgcoppg 16175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-oppg 16176
This theorem is referenced by:  oppgplus  16179
  Copyright terms: Public domain W3C validator