MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Unicode version

Theorem oppgplusfval 16707
Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
oppgval.3  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppgplusfval.4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval  |-  .+b  = tpos  .+

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
2 oppgval.2 . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
3 fvex 5859 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  e.  _V
42, 3eqeltri 2486 . . . . . 6  |-  .+  e.  _V
54tposex 6992 . . . . 5  |- tpos  .+  e.  _V
6 plusgid 14944 . . . . . 6  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
76setsid 14884 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\ tpos  .+  e.  _V )  -> tpos  .+  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
) )
85, 7mpan2 669 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  -> tpos  .+  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
) )
9 oppgval.3 . . . . . 6  |-  O  =  (oppg
`  R )
102, 9oppgval 16706 . . . . 5  |-  O  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
1110fveq2i 5852 . . . 4  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )
)
128, 11syl6reqr 2462 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  = tpos  .+  )
13 tpos0 6988 . . . . 5  |- tpos  (/)  =  (/)
146str0 14881 . . . . 5  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
1513, 14eqtr2i 2432 . . . 4  |-  ( +g  `  (/) )  = tpos  (/)
16 reldmsets 14864 . . . . . . 7  |-  Rel  dom sSet
1716ovprc1 6309 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  .+  >. )  =  (/) )
1810, 17syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  (/) )
1918fveq2d 5853 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  (/) ) )
20 fvprc 5843 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  R )  =  (/) )
212, 20syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .+  =  (/) )
2221tposeqd 6961 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  -> tpos  .+  = tpos 
(/) )
2315, 19, 223eqtr4a 2469 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  O )  = tpos  .+  )
2412, 23pm2.61i 164 . 2  |-  ( +g  `  O )  = tpos  .+
251, 24eqtri 2431 1  |-  .+b  = tpos  .+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   (/)c0 3738   <.cop 3978   ` cfv 5569  (class class class)co 6278  tpos ctpos 6957   ndxcnx 14838   sSet csts 14839   +g cplusg 14909  oppgcoppg 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-oppg 16705
This theorem is referenced by:  oppgplus  16708
  Copyright terms: Public domain W3C validator