MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplus Structured version   Unicode version

Theorem oppgplus 15982
Description: Value of the addition operation of an opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
oppgval.3  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppgplusfval.4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
oppgplus  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Y  .+  X
)

Proof of Theorem oppgplus
StepHypRef Expression
1 oppgval.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2 oppgval.3 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  R )
3 oppgplusfval.4 . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
41, 2, 3oppgplusfval 15981 . . 3  |-  .+b  = tpos  .+
54oveqi 6212 . 2  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Xtpos  .+  Y
)
6 ovtpos 6869 . 2  |-  ( Xtpos  .+  Y )  =  ( Y  .+  X )
75, 6eqtri 2483 1  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Y  .+  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370   ` cfv 5525  (class class class)co 6199  tpos ctpos 6853   +g cplusg 14356  oppgcoppg 15978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-nn 10433  df-2 10490  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-sets 14297  df-plusg 14369  df-oppg 15979
This theorem is referenced by:  oppgmnd  15987  oppgmndb  15988  oppgid  15989  oppggrp  15990  oppggrpb  15991  oppginv  15992  invoppggim  15993  oppgsubm  15995  oppgcntz  15997  gsumwrev  15999  oppglsm  16261  gsumzoppg  16561  gsumzoppgOLD  16562  oppgtmd  19799  tgpconcomp  19814  divstgpopn  19821  omndaddr  26314  ogrpaddltrd  26327  ogrpaddltrbid  26328  archiabllem2a  26355
  Copyright terms: Public domain W3C validator