MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplus Structured version   Unicode version

Theorem oppgplus 16710
Description: Value of the addition operation of an opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
oppgval.3  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppgplusfval.4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
oppgplus  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Y  .+  X
)

Proof of Theorem oppgplus
StepHypRef Expression
1 oppgval.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2 oppgval.3 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  R )
3 oppgplusfval.4 . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
41, 2, 3oppgplusfval 16709 . . 3  |-  .+b  = tpos  .+
54oveqi 6293 . 2  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Xtpos  .+  Y
)
6 ovtpos 6975 . 2  |-  ( Xtpos  .+  Y )  =  ( Y  .+  X )
75, 6eqtri 2433 1  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Y  .+  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1407   ` cfv 5571  (class class class)co 6280  tpos ctpos 6959   +g cplusg 14911  oppgcoppg 16706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-nn 10579  df-2 10637  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-sets 14849  df-plusg 14924  df-oppg 16707
This theorem is referenced by:  oppgmnd  16715  oppgmndb  16716  oppgid  16717  oppggrp  16718  oppggrpb  16719  oppginv  16720  invoppggim  16721  oppgsubm  16723  oppgcntz  16725  gsumwrev  16727  oppglsm  16988  gsumzoppg  17292  gsumzoppgOLD  17293  oppgtmd  20890  tgpconcomp  20905  qustgpopn  20912  omndaddr  28162  ogrpaddltrd  28175  ogrpaddltrbid  28176
  Copyright terms: Public domain W3C validator