MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplus Structured version   Unicode version

Theorem oppgplus 16179
Description: Value of the addition operation of an opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
oppgval.3  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppgplusfval.4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
oppgplus  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Y  .+  X
)

Proof of Theorem oppgplus
StepHypRef Expression
1 oppgval.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2 oppgval.3 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  R )
3 oppgplusfval.4 . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
41, 2, 3oppgplusfval 16178 . . 3  |-  .+b  = tpos  .+
54oveqi 6295 . 2  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Xtpos  .+  Y
)
6 ovtpos 6967 . 2  |-  ( Xtpos  .+  Y )  =  ( Y  .+  X )
75, 6eqtri 2496 1  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Y  .+  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379   ` cfv 5586  (class class class)co 6282  tpos ctpos 6951   +g cplusg 14551  oppgcoppg 16175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-oppg 16176
This theorem is referenced by:  oppgmnd  16184  oppgmndb  16185  oppgid  16186  oppggrp  16187  oppggrpb  16188  oppginv  16189  invoppggim  16190  oppgsubm  16192  oppgcntz  16194  gsumwrev  16196  oppglsm  16458  gsumzoppg  16758  gsumzoppgOLD  16759  oppgtmd  20331  tgpconcomp  20346  divstgpopn  20353  omndaddr  27359  ogrpaddltrd  27372  ogrpaddltrbid  27373  archiabllem2a  27400
  Copyright terms: Public domain W3C validator