MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplus Structured version   Unicode version

Theorem oppgplus 15855
Description: Value of the addition operation of an opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
oppgval.3  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppgplusfval.4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
oppgplus  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Y  .+  X
)

Proof of Theorem oppgplus
StepHypRef Expression
1 oppgval.2 . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2 oppgval.3 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  R )
3 oppgplusfval.4 . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  O )
41, 2, 3oppgplusfval 15854 . . 3  |-  .+b  = tpos  .+
54oveqi 6099 . 2  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Xtpos  .+  Y
)
6 ovtpos 6755 . 2  |-  ( Xtpos  .+  Y )  =  ( Y  .+  X )
75, 6eqtri 2458 1  |-  ( X 
.+b  Y )  =  ( Y  .+  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369   ` cfv 5413  (class class class)co 6086  tpos ctpos 6739   +g cplusg 14230  oppgcoppg 15851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-oppg 15852
This theorem is referenced by:  oppgmnd  15860  oppgmndb  15861  oppgid  15862  oppggrp  15863  oppggrpb  15864  oppginv  15865  invoppggim  15866  oppgsubm  15868  oppgcntz  15870  gsumwrev  15872  oppglsm  16132  gsumzoppg  16430  gsumzoppgOLD  16431  oppgtmd  19643  tgpconcomp  19658  divstgpopn  19665  omndaddr  26121  ogrpaddltrd  26134  ogrpaddltrbid  26135  archiabllem2a  26162
  Copyright terms: Public domain W3C validator