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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oppglsm | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.) |
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oppglsm.o |
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oppglsm.p |
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oppglsm |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2471 |
. . . . . . . 8
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2 | eqid 2471 |
. . . . . . . 8
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3 | oppglsm.p |
. . . . . . . 8
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4 | 1, 2, 3 | lsmfval 17368 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | tposeqd 6994 |
. . . . . 6
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6 | eqid 2471 |
. . . . . . . . . . . . 13
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7 | 6 | reldmmpt2 6426 |
. . . . . . . . . . . 12
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8 | 6 | mpt2fun 6417 |
. . . . . . . . . . . . 13
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9 | funforn 5813 |
. . . . . . . . . . . . 13
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10 | 8, 9 | mpbi 213 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | tposfo2 7014 |
. . . . . . . . . . . 12
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12 | 7, 10, 11 | mp2 9 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | forn 5809 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 12, 13 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
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15 | oppglsm.o |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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16 | eqid 2471 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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17 | 2, 15, 16 | oppgplus 17078 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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18 | 17 | eqcomi 2480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
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20 | 19 | mpt2eq3ia 6375 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | 20 | tposmpt2 7028 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 21 | rneqi 5067 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 14, 22 | eqtr3i 2495 |
. . . . . . . . 9
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24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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25 | 24 | mpt2eq3ia 6375 |
. . . . . . 7
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26 | 25 | tposmpt2 7028 |
. . . . . 6
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27 | 5, 26 | syl6eq 2521 |
. . . . 5
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28 | fvex 5889 |
. . . . . . 7
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29 | 15, 28 | eqeltri 2545 |
. . . . . 6
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30 | 15, 1 | oppgbas 17080 |
. . . . . . 7
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31 | eqid 2471 |
. . . . . . 7
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32 | 30, 16, 31 | lsmfval 17368 |
. . . . . 6
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33 | 29, 32 | ax-mp 5 |
. . . . 5
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34 | 27, 33 | syl6reqr 2524 |
. . . 4
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35 | 34 | oveqd 6325 |
. . 3
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36 | ovtpos 7006 |
. . 3
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37 | 35, 36 | syl6eq 2521 |
. 2
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38 | eqid 2471 |
. . . . . . 7
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39 | 0ex 4528 |
. . . . . . 7
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40 | eqidd 2472 |
. . . . . . 7
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41 | 38, 39, 40 | elovmpt2 6533 |
. . . . . 6
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42 | 41 | simp3bi 1047 |
. . . . 5
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43 | 42 | ssriv 3422 |
. . . 4
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44 | ss0 3768 |
. . . 4
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45 | 43, 44 | ax-mp 5 |
. . 3
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46 | elpwi 3951 |
. . . . . . . . . . . . 13
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47 | 46 | 3ad2ant2 1052 |
. . . . . . . . . . . 12
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48 | fvprc 5873 |
. . . . . . . . . . . . 13
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49 | 48 | 3ad2ant1 1051 |
. . . . . . . . . . . 12
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50 | 47, 49 | sseqtrd 3454 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | ss0 3768 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 50, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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53 | eqid 2471 |
. . . . . . . . . 10
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54 | mpt2eq12 6370 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 52, 53, 54 | sylancl 675 |
. . . . . . . . 9
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56 | mpt20 6380 |
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57 | 55, 56 | syl6eq 2521 |
. . . . . . . 8
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58 | 57 | rneqd 5068 |
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59 | rn0 5092 |
. . . . . . 7
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60 | 58, 59 | syl6eq 2521 |
. . . . . 6
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61 | 60 | mpt2eq3dva 6374 |
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62 | 33, 61 | syl5eq 2517 |
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63 | 62 | oveqd 6325 |
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64 | fvprc 5873 |
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65 | 3, 64 | syl5eq 2517 |
. . . . 5
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66 | 65 | oveqd 6325 |
. . . 4
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67 | df-ov 6311 |
. . . . 5
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68 | 0fv 5912 |
. . . . 5
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69 | 67, 68 | eqtri 2493 |
. . . 4
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70 | 66, 69 | syl6eq 2521 |
. . 3
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71 | 45, 63, 70 | 3eqtr4a 2531 |
. 2
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72 | 37, 71 | pm2.61i 169 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-tpos 6991 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-er 7381 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-nn 10632 df-2 10690 df-ndx 15202 df-slot 15203 df-base 15204 df-sets 15205 df-plusg 15281 df-oppg 17075 df-lsm 17366 |
This theorem is referenced by: lsmmod2 17404 lsmdisj2r 17413 |
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