Theorem oppglsm 16458

Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppglsm.o	|- O = (oppg ` G )
oppglsm.p	|- .(+) = ( LSSum ` G )

Assertion

Ref	Expression
oppglsm	|- ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T )

Proof of Theorem oppglsm

Dummy variables u t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		oppglsm.p	. . . . . . . 8 |- .(+) = ( LSSum ` G )
4	1, 2, 3	lsmfval 16454	. . . . . . 7 |- ( G e. _V -> .(+) = ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
5	4	tposeqd 6955	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> tpos .(+) = tpos ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
6		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
7	6	reldmmpt2 6395	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
8	6	mpt2fun 6386	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
9		funforn 5800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) <-> ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) )
10	8, 9	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
11		tposfo2 6975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> ( ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
12	7, 10, 11	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 |- tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
13		forn 5796	. . . . . . . . . . 11 |- (tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
15		oppglsm.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- O = (oppg ` G )
16		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` O ) = ( +g ` O )
17	2, 15, 16	oppgplus 16179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( +g ` O ) y ) = ( y ( +g ` G ) x )
18	17	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ( +g ` G ) x ) = ( x ( +g ` O ) y )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. u /\ x e. t ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( x ( +g ` O ) y ) )
20	19	mpt2eq3ia 6344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( y e. u , x e. t |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
21	20	tposmpt2 6989	. . . . . . . . . . 11 |- tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
22	21	rneqi 5227	. . . . . . . . . 10 |- ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
23	14, 22	eqtr3i 2498	. . . . . . . . 9 |- ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ~P ( Base ` G ) /\ t e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
25	24	mpt2eq3ia 6344	. . . . . . 7 |- ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) = ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
26	25	tposmpt2 6989	. . . . . 6 |- tpos ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
27	5, 26	syl6eq 2524	. . . . 5 |- ( G e. _V -> tpos .(+) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) )
28		fvex 5874	. . . . . . 7 |- (oppg ` G ) e. _V
29	15, 28	eqeltri 2551	. . . . . 6 |- O e. _V
30	15, 1	oppgbas 16181	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` O )
31		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( LSSum ` O ) = ( LSSum ` O )
32	30, 16, 31	lsmfval 16454	. . . . . 6 |- ( O e. _V -> ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) )
33	29, 32	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
34	27, 33	syl6reqr 2527	. . . 4 |- ( G e. _V -> ( LSSum ` O ) = tpos .(+) )
35	34	oveqd 6299	. . 3 |- ( G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( Ttpos .(+) U ) )
36		ovtpos 6967	. . 3 |- ( Ttpos .(+) U ) = ( U .(+) T )
37	35, 36	syl6eq 2524	. 2 |- ( G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T ) )
38		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) )
39		0ex 4577	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
40		eqidd 2468	. . . . . . 7 |- ( ( t = T /\ u = U ) -> (/) = (/) )
41	38, 39, 40	elovmpt2 6502	. . . . . 6 |- ( x e. ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) <-> ( T e. ~P ( Base ` G ) /\ U e. ~P ( Base ` G ) /\ x e. (/) ) )
42	41	simp3bi 1013	. . . . 5 |- ( x e. ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) -> x e. (/) )
43	42	ssriv 3508	. . . 4 |- ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) C_ (/)
44		ss0 3816	. . . 4 |- ( ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) C_ (/) -> ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) = (/) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . 3 |- ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) = (/)
46		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ~P ( Base ` G ) -> t C_ ( Base ` G ) )
47	46	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t C_ ( Base ` G ) )
48		fvprc 5858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. G e. _V -> ( Base ` G ) = (/) )
49	48	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = (/) )
50	47, 49	sseqtrd 3540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t C_ (/) )
51		ss0 3816	. . . . . . . . . . 11 |- ( t C_ (/) -> t = (/) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t = (/) )
53		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- u = u
54		mpt2eq12 6339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = (/) /\ u = u ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
55	52, 53, 54	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
56		mpt20 6349	. . . . . . . . 9 |- ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/)
57	55, 56	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/) )
58	57	rneqd 5228	. . . . . . 7 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ran (/) )
59		rn0 5252	. . . . . . 7 |- ran (/) = (/)
60	58, 59	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/) )
61	60	mpt2eq3dva 6343	. . . . 5 |- ( -. G e. _V -> ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) )
62	33, 61	syl5eq 2520	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) )
63	62	oveqd 6299	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) )
64		fvprc 5858	. . . . . 6 |- ( -. G e. _V -> ( LSSum ` G ) = (/) )
65	3, 64	syl5eq 2520	. . . . 5 |- ( -. G e. _V -> .(+) = (/) )
66	65	oveqd 6299	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( U .(+) T ) = ( U (/) T ) )
67		df-ov 6285	. . . . 5 |- ( U (/) T ) = ( (/) ` <. U , T >. )
68		0fv 5897	. . . . 5 |- ( (/) ` <. U , T >. ) = (/)
69	67, 68	eqtri 2496	. . . 4 |- ( U (/) T ) = (/)
70	66, 69	syl6eq 2524	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( U .(+) T ) = (/) )
71	45, 63, 70	3eqtr4a 2534	. 2 |- ( -. G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T ) )
72	37, 71	pm2.61i 164	1 |- ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   <.cop 4033   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   Rel wrel 5004   Fun wfun 5580   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284  tpos ctpos 6951   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  opp_gcoppg 16175   LSSumclsm 16450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-oppg 16176  df-lsm 16452

This theorem is referenced by:  lsmmod2  16490  lsmdisj2r  16499