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Theorem oppglsm 17372
Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
oppglsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
oppglsm  |-  ( T ( LSSum `  O ) U )  =  ( U  .(+)  T )

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 oppglsm.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmfval 17368 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  _V  ->  .(+)  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
54tposeqd 6994 . . . . . 6  |-  ( G  e.  _V  -> tpos  .(+)  = tpos  (
u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
6 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
76reldmmpt2 6426 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
86mpt2fun 6417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Fun  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
9 funforn 5813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
108, 9mpbi 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
11 tposfo2 7014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  -> 
( ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  -> tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : `' dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
127, 10, 11mp2 9 . . . . . . . . . . 11  |- tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : `' dom  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
13 forn 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  (tpos  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : `' dom  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  ->  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
15 oppglsm.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  (oppg
`  G )
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
172, 15, 16oppgplus 17078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )
1817eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( x ( +g  `  O ) y )
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  u  /\  x  e.  t )  ->  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2019mpt2eq3ia 6375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2120tposmpt2 7028 . . . . . . . . . . 11  |- tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2221rneqi 5067 . . . . . . . . . 10  |-  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )
2314, 22eqtr3i 2495 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )
2423a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ~P ( Base `  G )  /\  t  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
2524mpt2eq3ia 6375 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) ) )
2625tposmpt2 7028 . . . . . 6  |- tpos  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
275, 26syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  -> tpos  .(+)  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) ) )
28 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  (oppg `  G
)  e.  _V
2915, 28eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
3015, 1oppgbas 17080 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
31 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  O )  =  (
LSSum `  O )
3230, 16, 31lsmfval 17368 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) ) )
3329, 32ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
3427, 33syl6reqr 2524 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  ( LSSum `  O )  = tpos  .(+)  )
3534oveqd 6325 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( Ttpos  .(+)  U ) )
36 ovtpos 7006 . . 3  |-  ( Ttpos  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T )
3735, 36syl6eq 2521 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( U  .(+)  T ) )
38 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  (/) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) )
39 0ex 4528 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
40 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  -> 
(/)  =  (/) )
4138, 39, 40elovmpt2 6533 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  <->  ( T  e.  ~P ( Base `  G
)  /\  U  e.  ~P ( Base `  G
)  /\  x  e.  (/) ) )
4241simp3bi 1047 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  ->  x  e.  (/) )
4342ssriv 3422 . . . 4  |-  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  C_  (/)
44 ss0 3768 . . . 4  |-  ( ( T ( t  e. 
~P ( Base `  G
) ,  u  e. 
~P ( Base `  G
)  |->  (/) ) U ) 
C_  (/)  ->  ( T
( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  =  (/) )
4543, 44ax-mp 5 . . 3  |-  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  =  (/)
46 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P ( Base `  G )  ->  t  C_  ( Base `  G
) )
47463ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  C_  ( Base `  G ) )
48 fvprc 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  (/) )
49483ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  (/) )
5047, 49sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  C_  (/) )
51 ss0 3768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t 
C_  (/)  ->  t  =  (/) )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  =  (/) )
53 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  u  =  u
54 mpt2eq12 6370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  (/)  /\  u  =  u )  ->  (
x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
5552, 53, 54sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) ) )
56 mpt20 6380 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/)
5755, 56syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/) )
5857rneqd 5068 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ran  (/) )
59 rn0 5092 . . . . . . 7  |-  ran  (/)  =  (/)
6058, 59syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/) )
6160mpt2eq3dva 6374 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) )
6233, 61syl5eq 2517 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) )
6362oveqd 6325 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  (/) ) U ) )
64 fvprc 5873 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
LSSum `  G )  =  (/) )
653, 64syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .(+) 
=  (/) )
6665oveqd 6325 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( U  .(+)  T )  =  ( U (/) T ) )
67 df-ov 6311 . . . . 5  |-  ( U
(/) T )  =  ( (/) `  <. U ,  T >. )
68 0fv 5912 . . . . 5  |-  ( (/) ` 
<. U ,  T >. )  =  (/)
6967, 68eqtri 2493 . . . 4  |-  ( U
(/) T )  =  (/)
7066, 69syl6eq 2521 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( U  .(+)  T )  =  (/) )
7145, 63, 703eqtr4a 2531 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( U  .(+)  T ) )
7237, 71pm2.61i 169 1  |-  ( T ( LSSum `  O ) U )  =  ( U  .(+)  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   <.cop 3965   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310  tpos ctpos 6990   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  oppgcoppg 17074   LSSumclsm 17364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-oppg 17075  df-lsm 17366
This theorem is referenced by:  lsmmod2  17404  lsmdisj2r  17413
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