Theorem oppglsm 17372

Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppglsm.o	|- O = (oppg ` G )
oppglsm.p	|- .(+) = ( LSSum ` G )

Assertion

Ref	Expression
oppglsm	|- ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T )

Proof of Theorem oppglsm

Dummy variables u t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		oppglsm.p	. . . . . . . 8 |- .(+) = ( LSSum ` G )
4	1, 2, 3	lsmfval 17368	. . . . . . 7 |- ( G e. _V -> .(+) = ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
5	4	tposeqd 6994	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> tpos .(+) = tpos ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
6		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
7	6	reldmmpt2 6426	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
8	6	mpt2fun 6417	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
9		funforn 5813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) <-> ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) )
10	8, 9	mpbi 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
11		tposfo2 7014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> ( ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
12	7, 10, 11	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 |- tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
13		forn 5809	. . . . . . . . . . 11 |- (tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
15		oppglsm.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- O = (oppg ` G )
16		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` O ) = ( +g ` O )
17	2, 15, 16	oppgplus 17078	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( +g ` O ) y ) = ( y ( +g ` G ) x )
18	17	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ( +g ` G ) x ) = ( x ( +g ` O ) y )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. u /\ x e. t ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( x ( +g ` O ) y ) )
20	19	mpt2eq3ia 6375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( y e. u , x e. t |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
21	20	tposmpt2 7028	. . . . . . . . . . 11 |- tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
22	21	rneqi 5067	. . . . . . . . . 10 |- ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
23	14, 22	eqtr3i 2495	. . . . . . . . 9 |- ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ~P ( Base ` G ) /\ t e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
25	24	mpt2eq3ia 6375	. . . . . . 7 |- ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) = ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
26	25	tposmpt2 7028	. . . . . 6 |- tpos ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
27	5, 26	syl6eq 2521	. . . . 5 |- ( G e. _V -> tpos .(+) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) )
28		fvex 5889	. . . . . . 7 |- (oppg ` G ) e. _V
29	15, 28	eqeltri 2545	. . . . . 6 |- O e. _V
30	15, 1	oppgbas 17080	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` O )
31		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( LSSum ` O ) = ( LSSum ` O )
32	30, 16, 31	lsmfval 17368	. . . . . 6 |- ( O e. _V -> ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) )
33	29, 32	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
34	27, 33	syl6reqr 2524	. . . 4 |- ( G e. _V -> ( LSSum ` O ) = tpos .(+) )
35	34	oveqd 6325	. . 3 |- ( G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( Ttpos .(+) U ) )
36		ovtpos 7006	. . 3 |- ( Ttpos .(+) U ) = ( U .(+) T )
37	35, 36	syl6eq 2521	. 2 |- ( G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T ) )
38		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) )
39		0ex 4528	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
40		eqidd 2472	. . . . . . 7 |- ( ( t = T /\ u = U ) -> (/) = (/) )
41	38, 39, 40	elovmpt2 6533	. . . . . 6 |- ( x e. ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) <-> ( T e. ~P ( Base ` G ) /\ U e. ~P ( Base ` G ) /\ x e. (/) ) )
42	41	simp3bi 1047	. . . . 5 |- ( x e. ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) -> x e. (/) )
43	42	ssriv 3422	. . . 4 |- ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) C_ (/)
44		ss0 3768	. . . 4 |- ( ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) C_ (/) -> ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) = (/) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . 3 |- ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) = (/)
46		elpwi 3951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ~P ( Base ` G ) -> t C_ ( Base ` G ) )
47	46	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t C_ ( Base ` G ) )
48		fvprc 5873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. G e. _V -> ( Base ` G ) = (/) )
49	48	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = (/) )
50	47, 49	sseqtrd 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t C_ (/) )
51		ss0 3768	. . . . . . . . . . 11 |- ( t C_ (/) -> t = (/) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t = (/) )
53		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- u = u
54		mpt2eq12 6370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = (/) /\ u = u ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
55	52, 53, 54	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
56		mpt20 6380	. . . . . . . . 9 |- ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/)
57	55, 56	syl6eq 2521	. . . . . . . 8 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/) )
58	57	rneqd 5068	. . . . . . 7 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ran (/) )
59		rn0 5092	. . . . . . 7 |- ran (/) = (/)
60	58, 59	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/) )
61	60	mpt2eq3dva 6374	. . . . 5 |- ( -. G e. _V -> ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) )
62	33, 61	syl5eq 2517	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) )
63	62	oveqd 6325	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) )
64		fvprc 5873	. . . . . 6 |- ( -. G e. _V -> ( LSSum ` G ) = (/) )
65	3, 64	syl5eq 2517	. . . . 5 |- ( -. G e. _V -> .(+) = (/) )
66	65	oveqd 6325	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( U .(+) T ) = ( U (/) T ) )
67		df-ov 6311	. . . . 5 |- ( U (/) T ) = ( (/) ` <. U , T >. )
68		0fv 5912	. . . . 5 |- ( (/) ` <. U , T >. ) = (/)
69	67, 68	eqtri 2493	. . . 4 |- ( U (/) T ) = (/)
70	66, 69	syl6eq 2521	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( U .(+) T ) = (/) )
71	45, 63, 70	3eqtr4a 2531	. 2 |- ( -. G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T ) )
72	37, 71	pm2.61i 169	1 |- ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   <.cop 3965   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310  tpos ctpos 6990   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  opp_gcoppg 17074   LSSumclsm 17364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-oppg 17075  df-lsm 17366

This theorem is referenced by:  lsmmod2  17404  lsmdisj2r  17413