Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglsm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem oppglsm 17287
 Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o oppg
oppglsm.p
Assertion
Ref Expression
oppglsm

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2450 . . . . . . . 8
2 eqid 2450 . . . . . . . 8
3 oppglsm.p . . . . . . . 8
41, 2, 3lsmfval 17283 . . . . . . 7
54tposeqd 6973 . . . . . 6 tpos tpos
6 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13
76reldmmpt2 6404 . . . . . . . . . . . 12
86mpt2fun 6395 . . . . . . . . . . . . 13
9 funforn 5798 . . . . . . . . . . . . 13
108, 9mpbi 212 . . . . . . . . . . . 12
11 tposfo2 6993 . . . . . . . . . . . 12 tpos
127, 10, 11mp2 9 . . . . . . . . . . 11 tpos
13 forn 5794 . . . . . . . . . . 11 tpos tpos
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 tpos
15 oppglsm.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 oppg
16 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172, 15, 16oppgplus 16993 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817eqcomi 2459 . . . . . . . . . . . . . 14
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
2019mpt2eq3ia 6353 . . . . . . . . . . . 12
2120tposmpt2 7007 . . . . . . . . . . 11 tpos
2221rneqi 5060 . . . . . . . . . 10 tpos
2314, 22eqtr3i 2474 . . . . . . . . 9
2423a1i 11 . . . . . . . 8
2524mpt2eq3ia 6353 . . . . . . 7
2625tposmpt2 7007 . . . . . 6 tpos
275, 26syl6eq 2500 . . . . 5 tpos
28 fvex 5873 . . . . . . 7 oppg
2915, 28eqeltri 2524 . . . . . 6
3015, 1oppgbas 16995 . . . . . . 7
31 eqid 2450 . . . . . . 7
3230, 16, 31lsmfval 17283 . . . . . 6
3329, 32ax-mp 5 . . . . 5
3427, 33syl6reqr 2503 . . . 4 tpos
3534oveqd 6305 . . 3 tpos
36 ovtpos 6985 . . 3 tpos
3735, 36syl6eq 2500 . 2
38 eqid 2450 . . . . . . 7
39 0ex 4534 . . . . . . 7
40 eqidd 2451 . . . . . . 7
4138, 39, 40elovmpt2 6511 . . . . . 6
4241simp3bi 1024 . . . . 5
4342ssriv 3435 . . . 4
44 ss0 3764 . . . 4
4543, 44ax-mp 5 . . 3
46 elpwi 3959 . . . . . . . . . . . . 13
47463ad2ant2 1029 . . . . . . . . . . . 12
48 fvprc 5857 . . . . . . . . . . . . 13
49483ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . 12
5047, 49sseqtrd 3467 . . . . . . . . . . 11
51 ss0 3764 . . . . . . . . . . 11
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10
53 eqid 2450 . . . . . . . . . 10
54 mpt2eq12 6348 . . . . . . . . . 10
5552, 53, 54sylancl 667 . . . . . . . . 9
56 mpt20 6358 . . . . . . . . 9
5755, 56syl6eq 2500 . . . . . . . 8
5857rneqd 5061 . . . . . . 7
59 rn0 5085 . . . . . . 7
6058, 59syl6eq 2500 . . . . . 6
6160mpt2eq3dva 6352 . . . . 5
6233, 61syl5eq 2496 . . . 4
6362oveqd 6305 . . 3
64 fvprc 5857 . . . . . 6
653, 64syl5eq 2496 . . . . 5
6665oveqd 6305 . . . 4
67 df-ov 6291 . . . . 5
68 0fv 5896 . . . . 5
6967, 68eqtri 2472 . . . 4
7066, 69syl6eq 2500 . . 3
7145, 63, 703eqtr4a 2510 . 2
7237, 71pm2.61i 168 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886  cvv 3044   wss 3403  c0 3730  cpw 3950  cop 3973  ccnv 4832   cdm 4833   crn 4834   wrel 4838   wfun 5575  wfo 5579  cfv 5581  (class class class)co 6288   cmpt2 6290  tpos ctpos 6969  cbs 15114   cplusg 15183  oppgcoppg 16989  clsm 17279 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-oppg 16990  df-lsm 17281 This theorem is referenced by:  lsmmod2  17319  lsmdisj2r  17328
 Copyright terms: Public domain W3C validator