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Theorem oppglsm 16458
Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o  |-  O  =  (oppg
`  G )
oppglsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
oppglsm  |-  ( T ( LSSum `  O ) U )  =  ( U  .(+)  T )

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 oppglsm.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmfval 16454 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  _V  ->  .(+)  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
54tposeqd 6955 . . . . . 6  |-  ( G  e.  _V  -> tpos  .(+)  = tpos  (
u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
76reldmmpt2 6395 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
86mpt2fun 6386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Fun  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
9 funforn 5800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
108, 9mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
11 tposfo2 6975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  -> 
( ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  -> tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) : `' dom  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) -onto-> ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
127, 10, 11mp2 9 . . . . . . . . . . 11  |- tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : `' dom  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )
13 forn 5796 . . . . . . . . . . 11  |-  (tpos  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) : `' dom  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
-onto->
ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  ->  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )
15 oppglsm.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  (oppg
`  G )
16 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  O )  =  ( +g  `  O )
172, 15, 16oppgplus 16179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( +g  `  O
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )
1817eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( x ( +g  `  O ) y )
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  u  /\  x  e.  t )  ->  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2019mpt2eq3ia 6344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2120tposmpt2 6989 . . . . . . . . . . 11  |- tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )
2221rneqi 5227 . . . . . . . . . 10  |-  ran tpos  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )
2314, 22eqtr3i 2498 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )
2423a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ~P ( Base `  G )  /\  t  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G ) x ) )  =  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
2524mpt2eq3ia 6344 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )  =  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) ) )
2625tposmpt2 6989 . . . . . 6  |- tpos  ( u  e.  ~P ( Base `  G ) ,  t  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  (
y  e.  u ,  x  e.  t  |->  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
275, 26syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  -> tpos  .(+)  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) ) )
28 fvex 5874 . . . . . . 7  |-  (oppg `  G
)  e.  _V
2915, 28eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
3015, 1oppgbas 16181 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  O )
31 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  O )  =  (
LSSum `  O )
3230, 16, 31lsmfval 16454 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) ) )
3329, 32ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
3427, 33syl6reqr 2527 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  ( LSSum `  O )  = tpos  .(+)  )
3534oveqd 6299 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( Ttpos  .(+)  U ) )
36 ovtpos 6967 . . 3  |-  ( Ttpos  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T )
3735, 36syl6eq 2524 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( U  .(+)  T ) )
38 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  (/) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) )
39 0ex 4577 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
40 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  -> 
(/)  =  (/) )
4138, 39, 40elovmpt2 6502 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  <->  ( T  e.  ~P ( Base `  G
)  /\  U  e.  ~P ( Base `  G
)  /\  x  e.  (/) ) )
4241simp3bi 1013 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  ->  x  e.  (/) )
4342ssriv 3508 . . . 4  |-  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  C_  (/)
44 ss0 3816 . . . 4  |-  ( ( T ( t  e. 
~P ( Base `  G
) ,  u  e. 
~P ( Base `  G
)  |->  (/) ) U ) 
C_  (/)  ->  ( T
( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  =  (/) )
4543, 44ax-mp 5 . . 3  |-  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) U )  =  (/)
46 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P ( Base `  G )  ->  t  C_  ( Base `  G
) )
47463ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  C_  ( Base `  G ) )
48 fvprc 5858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  (/) )
49483ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  (/) )
5047, 49sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  C_  (/) )
51 ss0 3816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t 
C_  (/)  ->  t  =  (/) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  t  =  (/) )
53 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  u  =  u
54 mpt2eq12 6339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  (/)  /\  u  =  u )  ->  (
x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )
5552, 53, 54sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O
) y ) ) )
56 mpt20 6349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/)
5755, 56syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/) )
5857rneqd 5228 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  ran  (/) )
59 rn0 5252 . . . . . . 7  |-  ran  (/)  =  (/)
6058, 59syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  t  e.  ~P ( Base `  G )  /\  u  e.  ~P ( Base `  G ) )  ->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) )  =  (/) )
6160mpt2eq3dva 6343 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  ran  ( x  e.  t ,  y  e.  u  |->  ( x ( +g  `  O ) y ) ) )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) )
6233, 61syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
LSSum `  O )  =  ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G )  |->  (/) ) )
6362oveqd 6299 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( T ( t  e.  ~P ( Base `  G ) ,  u  e.  ~P ( Base `  G
)  |->  (/) ) U ) )
64 fvprc 5858 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
LSSum `  G )  =  (/) )
653, 64syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .(+) 
=  (/) )
6665oveqd 6299 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( U  .(+)  T )  =  ( U (/) T ) )
67 df-ov 6285 . . . . 5  |-  ( U
(/) T )  =  ( (/) `  <. U ,  T >. )
68 0fv 5897 . . . . 5  |-  ( (/) ` 
<. U ,  T >. )  =  (/)
6967, 68eqtri 2496 . . . 4  |-  ( U
(/) T )  =  (/)
7066, 69syl6eq 2524 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( U  .(+)  T )  =  (/) )
7145, 63, 703eqtr4a 2534 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( T ( LSSum `  O
) U )  =  ( U  .(+)  T ) )
7237, 71pm2.61i 164 1  |-  ( T ( LSSum `  O ) U )  =  ( U  .(+)  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   <.cop 4033   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   Rel wrel 5004   Fun wfun 5580   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284  tpos ctpos 6951   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  oppgcoppg 16175   LSSumclsm 16450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-oppg 16176  df-lsm 16452
This theorem is referenced by:  lsmmod2  16490  lsmdisj2r  16499
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