Theorem oppglsm 16231

Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppglsm.o	|- O = (oppg ` G )
oppglsm.p	|- .(+) = ( LSSum ` G )

Assertion

Ref	Expression
oppglsm	|- ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T )

Proof of Theorem oppglsm

Dummy variables u t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		oppglsm.p	. . . . . . . 8 |- .(+) = ( LSSum ` G )
4	1, 2, 3	lsmfval 16227	. . . . . . 7 |- ( G e. _V -> .(+) = ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
5	4	tposeqd 6834	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> tpos .(+) = tpos ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
6		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
7	6	reldmmpt2 6287	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
8	6	mpt2fun 6278	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
9		funforn 5711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) <-> ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) )
10	8, 9	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
11		tposfo2 6854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> ( ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
12	7, 10, 11	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 |- tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
13		forn 5707	. . . . . . . . . . 11 |- (tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
15		oppglsm.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- O = (oppg ` G )
16		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` O ) = ( +g ` O )
17	2, 15, 16	oppgplus 15952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( +g ` O ) y ) = ( y ( +g ` G ) x )
18	17	eqcomi 2462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ( +g ` G ) x ) = ( x ( +g ` O ) y )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. u /\ x e. t ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( x ( +g ` O ) y ) )
20	19	mpt2eq3ia 6236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( y e. u , x e. t |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
21	20	tposmpt2 6868	. . . . . . . . . . 11 |- tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
22	21	rneqi 5150	. . . . . . . . . 10 |- ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
23	14, 22	eqtr3i 2480	. . . . . . . . 9 |- ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ~P ( Base ` G ) /\ t e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
25	24	mpt2eq3ia 6236	. . . . . . 7 |- ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) = ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
26	25	tposmpt2 6868	. . . . . 6 |- tpos ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
27	5, 26	syl6eq 2506	. . . . 5 |- ( G e. _V -> tpos .(+) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) )
28		fvex 5785	. . . . . . 7 |- (oppg ` G ) e. _V
29	15, 28	eqeltri 2532	. . . . . 6 |- O e. _V
30	15, 1	oppgbas 15954	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` O )
31		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( LSSum ` O ) = ( LSSum ` O )
32	30, 16, 31	lsmfval 16227	. . . . . 6 |- ( O e. _V -> ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) )
33	29, 32	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
34	27, 33	syl6reqr 2509	. . . 4 |- ( G e. _V -> ( LSSum ` O ) = tpos .(+) )
35	34	oveqd 6193	. . 3 |- ( G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( Ttpos .(+) U ) )
36		ovtpos 6846	. . 3 |- ( Ttpos .(+) U ) = ( U .(+) T )
37	35, 36	syl6eq 2506	. 2 |- ( G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T ) )
38		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) )
39		0ex 4506	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
40		eqidd 2451	. . . . . . 7 |- ( ( t = T /\ u = U ) -> (/) = (/) )
41	38, 39, 40	elovmpt2 6393	. . . . . 6 |- ( x e. ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) <-> ( T e. ~P ( Base ` G ) /\ U e. ~P ( Base ` G ) /\ x e. (/) ) )
42	41	simp3bi 1005	. . . . 5 |- ( x e. ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) -> x e. (/) )
43	42	ssriv 3444	. . . 4 |- ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) C_ (/)
44		ss0 3752	. . . 4 |- ( ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) C_ (/) -> ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) = (/) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . 3 |- ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) = (/)
46		elpwi 3953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ~P ( Base ` G ) -> t C_ ( Base ` G ) )
47	46	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t C_ ( Base ` G ) )
48		fvprc 5769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. G e. _V -> ( Base ` G ) = (/) )
49	48	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = (/) )
50	47, 49	sseqtrd 3476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t C_ (/) )
51		ss0 3752	. . . . . . . . . . 11 |- ( t C_ (/) -> t = (/) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t = (/) )
53		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- u = u
54		mpt2eq12 6231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = (/) /\ u = u ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
55	52, 53, 54	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
56		mpt20 6241	. . . . . . . . 9 |- ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/)
57	55, 56	syl6eq 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/) )
58	57	rneqd 5151	. . . . . . 7 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ran (/) )
59		rn0 5175	. . . . . . 7 |- ran (/) = (/)
60	58, 59	syl6eq 2506	. . . . . 6 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/) )
61	60	mpt2eq3dva 6235	. . . . 5 |- ( -. G e. _V -> ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) )
62	33, 61	syl5eq 2502	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) )
63	62	oveqd 6193	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) )
64		fvprc 5769	. . . . . 6 |- ( -. G e. _V -> ( LSSum ` G ) = (/) )
65	3, 64	syl5eq 2502	. . . . 5 |- ( -. G e. _V -> .(+) = (/) )
66	65	oveqd 6193	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( U .(+) T ) = ( U (/) T ) )
67		df-ov 6179	. . . . 5 |- ( U (/) T ) = ( (/) ` <. U , T >. )
68		0fv 5808	. . . . 5 |- ( (/) ` <. U , T >. ) = (/)
69	67, 68	eqtri 2478	. . . 4 |- ( U (/) T ) = (/)
70	66, 69	syl6eq 2506	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( U .(+) T ) = (/) )
71	45, 63, 70	3eqtr4a 2516	. 2 |- ( -. G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T ) )
72	37, 71	pm2.61i 164	1 |- ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1757   _Vcvv 3054   C_ wss 3412   (/)c0 3721   ~Pcpw 3944   <.cop 3967   `'ccnv 4923   dom cdm 4924   ran crn 4925   Rel wrel 4929   Fun wfun 5496   -onto->wfo 5500   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   |-> cmpt2 6178  tpos ctpos 6830   Basecbs 14262   +g cplusg 14326  opp_gcoppg 15948   LSSumclsm 16223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-tpos 6831  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-plusg 14339  df-oppg 15949  df-lsm 16225

This theorem is referenced by:  lsmmod2  16263  lsmdisj2r  16272