Theorem oppglsm 17287

Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppglsm.o	|- O = (oppg ` G )
oppglsm.p	|- .(+) = ( LSSum ` G )

Assertion

Ref	Expression
oppglsm	|- ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T )

Proof of Theorem oppglsm

Dummy variables u t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		oppglsm.p	. . . . . . . 8 |- .(+) = ( LSSum ` G )
4	1, 2, 3	lsmfval 17283	. . . . . . 7 |- ( G e. _V -> .(+) = ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
5	4	tposeqd 6973	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> tpos .(+) = tpos ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
6		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
7	6	reldmmpt2 6404	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
8	6	mpt2fun 6395	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
9		funforn 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) <-> ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) )
10	8, 9	mpbi 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
11		tposfo2 6993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> ( ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
12	7, 10, 11	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 |- tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
13		forn 5794	. . . . . . . . . . 11 |- (tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
15		oppglsm.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- O = (oppg ` G )
16		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` O ) = ( +g ` O )
17	2, 15, 16	oppgplus 16993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( +g ` O ) y ) = ( y ( +g ` G ) x )
18	17	eqcomi 2459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ( +g ` G ) x ) = ( x ( +g ` O ) y )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. u /\ x e. t ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( x ( +g ` O ) y ) )
20	19	mpt2eq3ia 6353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( y e. u , x e. t |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
21	20	tposmpt2 7007	. . . . . . . . . . 11 |- tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
22	21	rneqi 5060	. . . . . . . . . 10 |- ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
23	14, 22	eqtr3i 2474	. . . . . . . . 9 |- ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ~P ( Base ` G ) /\ t e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
25	24	mpt2eq3ia 6353	. . . . . . 7 |- ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) = ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
26	25	tposmpt2 7007	. . . . . 6 |- tpos ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
27	5, 26	syl6eq 2500	. . . . 5 |- ( G e. _V -> tpos .(+) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) )
28		fvex 5873	. . . . . . 7 |- (oppg ` G ) e. _V
29	15, 28	eqeltri 2524	. . . . . 6 |- O e. _V
30	15, 1	oppgbas 16995	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` O )
31		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( LSSum ` O ) = ( LSSum ` O )
32	30, 16, 31	lsmfval 17283	. . . . . 6 |- ( O e. _V -> ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) )
33	29, 32	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
34	27, 33	syl6reqr 2503	. . . 4 |- ( G e. _V -> ( LSSum ` O ) = tpos .(+) )
35	34	oveqd 6305	. . 3 |- ( G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( Ttpos .(+) U ) )
36		ovtpos 6985	. . 3 |- ( Ttpos .(+) U ) = ( U .(+) T )
37	35, 36	syl6eq 2500	. 2 |- ( G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T ) )
38		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) )
39		0ex 4534	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
40		eqidd 2451	. . . . . . 7 |- ( ( t = T /\ u = U ) -> (/) = (/) )
41	38, 39, 40	elovmpt2 6511	. . . . . 6 |- ( x e. ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) <-> ( T e. ~P ( Base ` G ) /\ U e. ~P ( Base ` G ) /\ x e. (/) ) )
42	41	simp3bi 1024	. . . . 5 |- ( x e. ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) -> x e. (/) )
43	42	ssriv 3435	. . . 4 |- ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) C_ (/)
44		ss0 3764	. . . 4 |- ( ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) C_ (/) -> ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) = (/) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . 3 |- ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) = (/)
46		elpwi 3959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ~P ( Base ` G ) -> t C_ ( Base ` G ) )
47	46	3ad2ant2 1029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t C_ ( Base ` G ) )
48		fvprc 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. G e. _V -> ( Base ` G ) = (/) )
49	48	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = (/) )
50	47, 49	sseqtrd 3467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t C_ (/) )
51		ss0 3764	. . . . . . . . . . 11 |- ( t C_ (/) -> t = (/) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t = (/) )
53		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- u = u
54		mpt2eq12 6348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = (/) /\ u = u ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
55	52, 53, 54	sylancl 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
56		mpt20 6358	. . . . . . . . 9 |- ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/)
57	55, 56	syl6eq 2500	. . . . . . . 8 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/) )
58	57	rneqd 5061	. . . . . . 7 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ran (/) )
59		rn0 5085	. . . . . . 7 |- ran (/) = (/)
60	58, 59	syl6eq 2500	. . . . . 6 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/) )
61	60	mpt2eq3dva 6352	. . . . 5 |- ( -. G e. _V -> ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) )
62	33, 61	syl5eq 2496	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) )
63	62	oveqd 6305	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) )
64		fvprc 5857	. . . . . 6 |- ( -. G e. _V -> ( LSSum ` G ) = (/) )
65	3, 64	syl5eq 2496	. . . . 5 |- ( -. G e. _V -> .(+) = (/) )
66	65	oveqd 6305	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( U .(+) T ) = ( U (/) T ) )
67		df-ov 6291	. . . . 5 |- ( U (/) T ) = ( (/) ` <. U , T >. )
68		0fv 5896	. . . . 5 |- ( (/) ` <. U , T >. ) = (/)
69	67, 68	eqtri 2472	. . . 4 |- ( U (/) T ) = (/)
70	66, 69	syl6eq 2500	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( U .(+) T ) = (/) )
71	45, 63, 70	3eqtr4a 2510	. 2 |- ( -. G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T ) )
72	37, 71	pm2.61i 168	1 |- ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   <.cop 3973   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   ran crn 4834   Rel wrel 4838   Fun wfun 5575   -onto->wfo 5579   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   |-> cmpt2 6290  tpos ctpos 6969   Basecbs 15114   +g cplusg 15183  opp_gcoppg 16989   LSSumclsm 17279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-oppg 16990  df-lsm 17281

This theorem is referenced by:  lsmmod2  17319  lsmdisj2r  17328