MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglem Structured version   Unicode version

Theorem oppglem 16177
Description: Lemma for oppgbas 16178. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgbas.1  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppglem.2  |-  E  = Slot 
N
oppglem.3  |-  N  e.  NN
oppglem.4  |-  N  =/=  2
Assertion
Ref Expression
oppglem  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  O
)

Proof of Theorem oppglem
StepHypRef Expression
1 oppglem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 oppglem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 14504 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 oppglem.4 . . . 4  |-  N  =/=  2
51, 2ndxarg 14503 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
6 plusgndx 14582 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
75, 6neeq12i 2756 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( +g  `  ndx ) 
<->  N  =/=  2 )
84, 7mpbir 209 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( +g  `  ndx )
93, 8setsnid 14525 . 2  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  ( +g  `  R
) >. ) )
10 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
11 oppgbas.1 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  R )
1210, 11oppgval 16174 . . 3  |-  O  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  ( +g  `  R
) >. )
1312fveq2i 5867 . 2  |-  ( E `
 O )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  ( +g  `  R
) >. ) )
149, 13eqtr4i 2499 1  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   <.cop 4033   ` cfv 5586  (class class class)co 6282  tpos ctpos 6951   NNcn 10532   2c2 10581   ndxcnx 14480   sSet csts 14481  Slot cslot 14482   +g cplusg 14548  oppgcoppg 16172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-sets 14489  df-plusg 14561  df-oppg 16173
This theorem is referenced by:  oppgbas  16178  oppgtset  16179  oppgle  27300
  Copyright terms: Public domain W3C validator