MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglem Structured version   Unicode version

Theorem oppglem 16511
Description: Lemma for oppgbas 16512. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgbas.1  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppglem.2  |-  E  = Slot 
N
oppglem.3  |-  N  e.  NN
oppglem.4  |-  N  =/=  2
Assertion
Ref Expression
oppglem  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  O
)

Proof of Theorem oppglem
StepHypRef Expression
1 oppglem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 oppglem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 14664 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 oppglem.4 . . . 4  |-  N  =/=  2
51, 2ndxarg 14663 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
6 plusgndx 14745 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
75, 6neeq12i 2746 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( +g  `  ndx ) 
<->  N  =/=  2 )
84, 7mpbir 209 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( +g  `  ndx )
93, 8setsnid 14687 . 2  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  ( +g  `  R
) >. ) )
10 eqid 2457 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
11 oppgbas.1 . . . 4  |-  O  =  (oppg
`  R )
1210, 11oppgval 16508 . . 3  |-  O  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  ( +g  `  R
) >. )
1312fveq2i 5875 . 2  |-  ( E `
 O )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , tpos  ( +g  `  R
) >. ) )
149, 13eqtr4i 2489 1  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296  tpos ctpos 6972   NNcn 10556   2c2 10606   ndxcnx 14640   sSet csts 14641  Slot cslot 14642   +g cplusg 14711  oppgcoppg 16506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-oppg 16507
This theorem is referenced by:  oppgbas  16512  oppgtset  16513  oppgle  27793
  Copyright terms: Public domain W3C validator