Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oppgle Structured version   Unicode version

Theorem oppgle 26286
Description: less-than relation of an opposite group. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglt.1  |-  O  =  (oppg
`  R )
oppgle.2  |-  .<_  =  ( le `  R )
Assertion
Ref Expression
oppgle  |-  .<_  =  ( le `  O )

Proof of Theorem oppgle
StepHypRef Expression
1 oppgle.2 . 2  |-  .<_  =  ( le `  R )
2 oppglt.1 . . 3  |-  O  =  (oppg
`  R )
3 df-ple 14381 . . 3  |-  le  = Slot  10
4 10nn 10602 . . 3  |-  10  e.  NN
5 2re 10506 . . . 4  |-  2  e.  RR
6 2lt10 10646 . . . 4  |-  2  <  10
75, 6gtneii 9601 . . 3  |-  10  =/=  2
82, 3, 4, 7oppglem 15988 . 2  |-  ( le
`  R )  =  ( le `  O
)
91, 8eqtri 2483 1  |-  .<_  =  ( le `  O )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370   ` cfv 5529   2c2 10486   10c10 10494   lecple 14368  oppgcoppg 15983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-sets 14302  df-plusg 14374  df-ple 14381  df-oppg 15984
This theorem is referenced by:  oppglt  26287  omndaddr  26342
  Copyright terms: Public domain W3C validator