MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcyon Structured version   Unicode version

Theorem oppcyon 15754
Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcyon.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcyon.y  |-  Y  =  (Yon `  O )
oppcyon.m  |-  M  =  (HomF
`  C )
oppcyon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
Assertion
Ref Expression
oppcyon  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  C >. curryF  M ) )

Proof of Theorem oppcyon
StepHypRef Expression
1 oppcyon.m . . . 4  |-  M  =  (HomF
`  C )
2 oppcyon.o . . . . . . 7  |-  O  =  (oppCat `  C )
322oppchomf 15229 . . . . . 6  |-  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O )
)
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O
) ) )
522oppccomf 15230 . . . . . 6  |-  (compf `  C
)  =  (compf `  (oppCat `  O ) )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  (oppCat `  O ) ) )
7 oppcyon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
82oppccat 15227 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
97, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
10 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
1110oppccat 15227 . . . . . 6  |-  ( O  e.  Cat  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
129, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
134, 6, 7, 12hofpropd 15752 . . . 4  |-  ( ph  ->  (HomF
`  C )  =  (HomF
`  (oppCat `  O )
) )
141, 13syl5eq 2455 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  (HomF `  (oppCat `  O ) ) )
1514oveq2d 6250 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. O ,  (oppCat `  O ) >. curryF  M )  =  (
<. O ,  (oppCat `  O ) >. curryF  (HomF
`  (oppCat `  O )
) ) )
16 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  O )  =  ( Hom f  `  O ) )
17 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  O )  =  (compf `  O ) )
18 eqid 2402 . . . 4  |-  ( SetCat ` 
ran  ( Hom f  `  C ) )  =  ( SetCat ` 
ran  ( Hom f  `  C ) )
19 fvex 5815 . . . . . 6  |-  ( Hom f  `  C )  e.  _V
2019rnex 6672 . . . . 5  |-  ran  ( Hom f  `  C )  e.  _V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C )  e.  _V )
22 ssid 3460 . . . . 5  |-  ran  ( Hom f  `  C )  C_  ran  ( Hom f  `  C )
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C ) 
C_  ran  ( Hom f  `  C
) )
241, 2, 18, 7, 21, 23hofcl 15744 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( O  X.c  C )  Func  ( SetCat `
 ran  ( Hom f  `  C
) ) ) )
2516, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 24curfpropd 15718 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. O ,  C >. curryF  M
)  =  ( <. O ,  (oppCat `  O
) >. curryF  M ) )
26 oppcyon.y . . 3  |-  Y  =  (Yon `  O )
27 eqid 2402 . . 3  |-  (HomF `  (oppCat `  O ) )  =  (HomF
`  (oppCat `  O )
)
2826, 9, 10, 27yonval 15746 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  (oppCat `  O
) >. curryF  (HomF `  (oppCat `  O )
) ) )
2915, 25, 283eqtr4rd 2454 1  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  C >. curryF  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   <.cop 3977   ran crn 4943   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Catccat 15170   Hom f chomf 15172  compfccomf 15173  oppCatcoppc 15216   SetCatcsetc 15570   curryF ccurf 15695  HomFchof 15733  Yoncyon 15734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-hom 14825  df-cco 14826  df-cat 15174  df-cid 15175  df-homf 15176  df-comf 15177  df-oppc 15217  df-func 15363  df-setc 15571  df-xpc 15657  df-curf 15699  df-hof 15735  df-yon 15736
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator