MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcyon Structured version   Unicode version

Theorem oppcyon 15202
Description: Value of the opposite Yoneda embedding. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcyon.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcyon.y  |-  Y  =  (Yon `  O )
oppcyon.m  |-  M  =  (HomF
`  C )
oppcyon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
Assertion
Ref Expression
oppcyon  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  C >. curryF  M ) )

Proof of Theorem oppcyon
StepHypRef Expression
1 oppcyon.m . . . 4  |-  M  =  (HomF
`  C )
2 oppcyon.o . . . . . . 7  |-  O  =  (oppCat `  C )
322oppchomf 14786 . . . . . 6  |-  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O )
)
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O
) ) )
522oppccomf 14787 . . . . . 6  |-  (compf `  C
)  =  (compf `  (oppCat `  O ) )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  (oppCat `  O ) ) )
7 oppcyon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
82oppccat 14784 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
10 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
1110oppccat 14784 . . . . . 6  |-  ( O  e.  Cat  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
134, 6, 7, 12hofpropd 15200 . . . 4  |-  ( ph  ->  (HomF
`  C )  =  (HomF
`  (oppCat `  O )
) )
141, 13syl5eq 2507 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  (HomF `  (oppCat `  O ) ) )
1514oveq2d 6219 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. O ,  (oppCat `  O ) >. curryF  M )  =  (
<. O ,  (oppCat `  O ) >. curryF  (HomF
`  (oppCat `  O )
) ) )
16 eqidd 2455 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  O )  =  ( Hom f  `  O ) )
17 eqidd 2455 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  O )  =  (compf `  O ) )
18 eqid 2454 . . . 4  |-  ( SetCat ` 
ran  ( Hom f  `  C ) )  =  ( SetCat ` 
ran  ( Hom f  `  C ) )
19 fvex 5812 . . . . . 6  |-  ( Hom f  `  C )  e.  _V
2019rnex 6625 . . . . 5  |-  ran  ( Hom f  `  C )  e.  _V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C )  e.  _V )
22 ssid 3486 . . . . 5  |-  ran  ( Hom f  `  C )  C_  ran  ( Hom f  `  C )
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( Hom f  `  C ) 
C_  ran  ( Hom f  `  C
) )
241, 2, 18, 7, 21, 23hofcl 15192 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( O  X.c  C )  Func  ( SetCat `
 ran  ( Hom f  `  C
) ) ) )
2516, 17, 4, 6, 9, 9, 7, 12, 24curfpropd 15166 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. O ,  C >. curryF  M
)  =  ( <. O ,  (oppCat `  O
) >. curryF  M ) )
26 oppcyon.y . . 3  |-  Y  =  (Yon `  O )
27 eqid 2454 . . 3  |-  (HomF `  (oppCat `  O ) )  =  (HomF
`  (oppCat `  O )
)
2826, 9, 10, 27yonval 15194 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  (oppCat `  O
) >. curryF  (HomF `  (oppCat `  O )
) ) )
2915, 25, 283eqtr4rd 2506 1  |-  ( ph  ->  Y  =  ( <. O ,  C >. curryF  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   <.cop 3994   ran crn 4952   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Catccat 14725   Hom f chomf 14727  compfccomf 14728  oppCatcoppc 14773   SetCatcsetc 15066   curryF ccurf 15143  HomFchof 15181  Yoncyon 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-hom 14385  df-cco 14386  df-cat 14729  df-cid 14730  df-homf 14731  df-comf 14732  df-oppc 14774  df-func 14891  df-setc 15067  df-xpc 15105  df-curf 15147  df-hof 15183  df-yon 15184
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator