MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcsect2 Structured version   Unicode version

Theorem oppcsect2 15030
Description: A section in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
oppcsect.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcsect.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oppcsect.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
oppcsect.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
oppcsect.s  |-  S  =  (Sect `  C )
oppcsect.t  |-  T  =  (Sect `  O )
Assertion
Ref Expression
oppcsect2  |-  ( ph  ->  ( X T Y )  =  `' ( X S Y ) )

Proof of Theorem oppcsect2
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcsect.o . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 oppcsect.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 14974 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  O
)
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  O )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  (comp `  O )  =  (comp `  O )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Id
`  O )  =  ( Id `  O
)
7 oppcsect.t . . . 4  |-  T  =  (Sect `  O )
8 oppcsect.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
91oppccat 14978 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
11 oppcsect.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
12 oppcsect.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
133, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12sectss 15008 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X T Y )  C_  ( ( X ( Hom  `  O
) Y )  X.  ( Y ( Hom  `  O ) X ) ) )
14 relxp 5110 . . 3  |-  Rel  (
( X ( Hom  `  O ) Y )  X.  ( Y ( Hom  `  O ) X ) )
15 relss 5090 . . 3  |-  ( ( X T Y ) 
C_  ( ( X ( Hom  `  O
) Y )  X.  ( Y ( Hom  `  O ) X ) )  ->  ( Rel  ( ( X ( Hom  `  O ) Y )  X.  ( Y ( Hom  `  O
) X ) )  ->  Rel  ( X T Y ) ) )
1613, 14, 15mpisyl 18 . 2  |-  ( ph  ->  Rel  ( X T Y ) )
17 relcnv 5374 . . 3  |-  Rel  `' ( X S Y )
1817a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  Rel  `' ( X S Y ) )
19 oppcsect.s . . . 4  |-  S  =  (Sect `  C )
202, 1, 8, 11, 12, 19, 7oppcsect 15029 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f ( X T Y ) g  <-> 
g ( X S Y ) f ) )
21 vex 3116 . . . 4  |-  f  e. 
_V
22 vex 3116 . . . 4  |-  g  e. 
_V
2321, 22brcnv 5185 . . 3  |-  ( f `' ( X S Y ) g  <->  g ( X S Y ) f )
2420, 23syl6bbr 263 . 2  |-  ( ph  ->  ( f ( X T Y ) g  <-> 
f `' ( X S Y ) g ) )
2516, 18, 24eqbrrdv 5100 1  |-  ( ph  ->  ( X T Y )  =  `' ( X S Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   Rel wrel 5004   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   Hom chom 14566  compcco 14567   Catccat 14919   Idccid 14920  oppCatcoppc 14967  Sectcsect 15000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-hom 14579  df-cco 14580  df-cat 14923  df-cid 14924  df-oppc 14968  df-sect 15003
This theorem is referenced by:  oppcinv  15031
  Copyright terms: Public domain W3C validator