MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppciso Structured version   Unicode version

Theorem oppciso 15045
Description: An isomorphism in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
oppcsect.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcsect.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oppcsect.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
oppcsect.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
oppciso.s  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
oppciso.t  |-  J  =  (  Iso  `  O
)
Assertion
Ref Expression
oppciso  |-  ( ph  ->  ( X J Y )  =  ( Y I X ) )

Proof of Theorem oppciso
StepHypRef Expression
1 oppcsect.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 oppcsect.o . . . 4  |-  O  =  (oppCat `  C )
3 oppcsect.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 oppcsect.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 oppcsect.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 eqid 2441 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
7 eqid 2441 . . . 4  |-  (Inv `  O )  =  (Inv
`  O )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7oppcinv 15044 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X (Inv `  O ) Y )  =  ( Y (Inv
`  C ) X ) )
98dmeqd 5192 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( X (Inv
`  O ) Y )  =  dom  ( Y (Inv `  C ) X ) )
102, 1oppcbas 14987 . . 3  |-  B  =  ( Base `  O
)
112oppccat 14991 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
123, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
13 oppciso.t . . 3  |-  J  =  (  Iso  `  O
)
1410, 7, 12, 4, 5, 13isoval 15033 . 2  |-  ( ph  ->  ( X J Y )  =  dom  ( X (Inv `  O ) Y ) )
15 oppciso.s . . 3  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
161, 6, 3, 5, 4, 15isoval 15033 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y I X )  =  dom  ( Y (Inv `  C ) X ) )
179, 14, 163eqtr4d 2492 1  |-  ( ph  ->  ( X J Y )  =  ( Y I X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802   dom cdm 4986   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   Basecbs 14506   Catccat 14935  oppCatcoppc 14980  Invcinv 15014    Iso ciso 15015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-tpos 6954  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-hom 14595  df-cco 14596  df-cat 14939  df-cid 14940  df-oppc 14981  df-sect 15016  df-inv 15017  df-iso 15018
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator