MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppciso Structured version   Unicode version

Theorem oppciso 14720
Description: An isomorphism in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
oppcsect.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcsect.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oppcsect.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
oppcsect.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
oppciso.s  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
oppciso.t  |-  J  =  (  Iso  `  O
)
Assertion
Ref Expression
oppciso  |-  ( ph  ->  ( X J Y )  =  ( Y I X ) )

Proof of Theorem oppciso
StepHypRef Expression
1 oppcsect.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 oppcsect.o . . . 4  |-  O  =  (oppCat `  C )
3 oppcsect.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 oppcsect.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 oppcsect.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 eqid 2443 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
7 eqid 2443 . . . 4  |-  (Inv `  O )  =  (Inv
`  O )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7oppcinv 14719 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X (Inv `  O ) Y )  =  ( Y (Inv
`  C ) X ) )
98dmeqd 5047 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( X (Inv
`  O ) Y )  =  dom  ( Y (Inv `  C ) X ) )
102, 1oppcbas 14662 . . 3  |-  B  =  ( Base `  O
)
112oppccat 14666 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
123, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
13 oppciso.t . . 3  |-  J  =  (  Iso  `  O
)
1410, 7, 12, 4, 5, 13isoval 14708 . 2  |-  ( ph  ->  ( X J Y )  =  dom  ( X (Inv `  O ) Y ) )
15 oppciso.s . . 3  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
161, 6, 3, 5, 4, 15isoval 14708 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y I X )  =  dom  ( Y (Inv `  C ) X ) )
179, 14, 163eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  ( X J Y )  =  ( Y I X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   Catccat 14607  oppCatcoppc 14655  Invcinv 14689    Iso ciso 14690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-hom 14267  df-cco 14268  df-cat 14611  df-cid 14612  df-oppc 14656  df-sect 14691  df-inv 14692  df-iso 14693
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator