Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcinv Structured version   Unicode version

Theorem oppcinv 15636
 Description: An inverse in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b
oppcsect.o oppCat
oppcsect.c
oppcsect.x
oppcsect.y
oppcinv.s Inv
oppcinv.t Inv
Assertion
Ref Expression
oppcinv

Proof of Theorem oppcinv
StepHypRef Expression
1 incom 3661 . . 3 Sect Sect Sect Sect
2 oppcsect.b . . . . . . 7
3 oppcsect.o . . . . . . 7 oppCat
4 oppcsect.c . . . . . . 7
5 oppcsect.y . . . . . . 7
6 oppcsect.x . . . . . . 7
7 eqid 2429 . . . . . . 7 Sect Sect
8 eqid 2429 . . . . . . 7 Sect Sect
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8oppcsect2 15635 . . . . . 6 Sect Sect
109cnveqd 5030 . . . . 5 Sect Sect
11 eqid 2429 . . . . . . . 8
12 eqid 2429 . . . . . . . 8 comp comp
13 eqid 2429 . . . . . . . 8
142, 11, 12, 13, 7, 4, 5, 6sectss 15608 . . . . . . 7 Sect
15 relxp 4962 . . . . . . 7
16 relss 4942 . . . . . . 7 Sect Sect
1714, 15, 16mpisyl 22 . . . . . 6 Sect
18 dfrel2 5306 . . . . . 6 Sect Sect Sect
1917, 18sylib 199 . . . . 5 Sect Sect
2010, 19eqtrd 2470 . . . 4 Sect Sect
212, 3, 4, 6, 5, 7, 8oppcsect2 15635 . . . 4 Sect Sect
2220, 21ineq12d 3671 . . 3 Sect Sect Sect Sect
231, 22syl5eq 2482 . 2 Sect Sect Sect Sect
243, 2oppcbas 15574 . . 3
25 oppcinv.t . . 3 Inv
263oppccat 15578 . . . 4
274, 26syl 17 . . 3
2824, 25, 27, 6, 5, 8invfval 15615 . 2 Sect Sect
29 oppcinv.s . . 3 Inv
302, 29, 4, 5, 6, 7invfval 15615 . 2 Sect Sect
3123, 28, 303eqtr4d 2480 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1437   wcel 1870   cin 3441   wss 3442   cxp 4852  ccnv 4853   wrel 4859  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15084   chom 15163  compcco 15164  ccat 15521  ccid 15522  oppCatcoppc 15567  Sectcsect 15600  Invcinv 15601 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-hom 15176  df-cco 15177  df-cat 15525  df-cid 15526  df-oppc 15568  df-sect 15603  df-inv 15604 This theorem is referenced by:  oppciso  15637  episect  15641
 Copyright terms: Public domain W3C validator