MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfval Structured version   Unicode version

Theorem oppchomfval 14638
Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
oppchom.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
oppchomfval  |- tpos  H  =  ( Hom  `  O
)

Proof of Theorem oppchomfval
Dummy variables  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 14339 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
2 1nn0 10585 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3 4nn 10471 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10758 . . . . . . 7  |- ; 1 4  e.  NN
54nnrei 10321 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  RR
6 4nn0 10588 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
7 5nn 10472 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
8 4lt5 10484 . . . . . . 7  |-  4  <  5
92, 6, 7, 8declt 10766 . . . . . 6  |- ; 1 4  < ; 1 5
105, 9ltneii 9477 . . . . 5  |- ; 1 4  =/= ; 1 5
11 homndx 14338 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
12 ccondx 14340 . . . . . 6  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
1311, 12neeq12i 2612 . . . . 5  |-  ( ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  <-> ; 1 4  =/= ; 1 5 )
1410, 13mpbir 209 . . . 4  |-  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
151, 14setsnid 14201 . . 3  |-  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos 
H >. ) )  =  ( Hom  `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
16 oppchom.h . . . . . 6  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
17 fvex 5691 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  e.  _V
1816, 17eqeltri 2505 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
1918tposex 6770 . . . 4  |- tpos  H  e. 
_V
201setsid 14200 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\ tpos  H  e.  _V )  -> tpos  H  =  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. )
) )
2119, 20mpan2 666 . . 3  |-  ( C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. )
) )
22 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
23 eqid 2435 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
24 oppchom.o . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2522, 16, 23, 24oppcval 14637 . . . 4  |-  ( C  e.  _V  ->  O  =  ( ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <.
(comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
2625fveq2d 5685 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) ) )
2715, 21, 263eqtr4a 2493 . 2  |-  ( C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  O
) )
28 tpos0 6766 . . 3  |- tpos  (/)  =  (/)
29 fvprc 5675 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  C )  =  (/) )
3016, 29syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  H  =  (/) )
3130tposeqd 6739 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  -> tpos  H  = tpos  (/) )
32 fvprc 5675 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (oppCat `  C )  =  (/) )
3324, 32syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  O  =  (/) )
3433fveq2d 5685 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  (/) ) )
35 df-hom 14247 . . . . 5  |-  Hom  = Slot ; 1 4
3635str0 14197 . . . 4  |-  (/)  =  ( Hom  `  (/) )
3734, 36syl6eqr 2485 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  (/) )
3828, 31, 373eqtr4a 2493 . 2  |-  ( -.  C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  O
) )
3927, 38pm2.61i 164 1  |- tpos  H  =  ( Hom  `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1364    e. wcel 1757    =/= wne 2598   _Vcvv 2964   (/)c0 3627   <.cop 3873    X. cxp 4827   ` cfv 5408  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084   1stc1st 6566   2ndc2nd 6567  tpos ctpos 6735   1c1 9273   4c4 10363   5c5 10364  ;cdc 10745   ndxcnx 14156   sSet csts 14157   Basecbs 14159   Hom chom 14234  compcco 14235  oppCatcoppc 14635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-tpos 6736  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-4 10372  df-5 10373  df-6 10374  df-7 10375  df-8 10376  df-9 10377  df-10 10378  df-n0 10570  df-dec 10746  df-ndx 14162  df-slot 14163  df-sets 14165  df-hom 14247  df-cco 14248  df-oppc 14636
This theorem is referenced by:  oppchom  14639
  Copyright terms: Public domain W3C validator