Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfval Structured version   Unicode version

Theorem oppchomfval 15562
 Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h
oppchom.o oppCat
Assertion
Ref Expression
oppchomfval tpos

Proof of Theorem oppchomfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 15256 . . . 4 Slot
2 1nn0 10836 . . . . . . . 8
3 4nn 10720 . . . . . . . 8
42, 3decnncl 11015 . . . . . . 7 ;
54nnrei 10569 . . . . . 6 ;
6 4nn0 10839 . . . . . . 7
7 5nn 10721 . . . . . . 7
8 4lt5 10733 . . . . . . 7
92, 6, 7, 8declt 11023 . . . . . 6 ; ;
105, 9ltneii 9698 . . . . 5 ; ;
11 homndx 15255 . . . . . 6 ;
12 ccondx 15257 . . . . . 6 comp ;
1311, 12neeq12i 2667 . . . . 5 comp ; ;
1410, 13mpbir 212 . . . 4 comp
151, 14setsnid 15108 . . 3 sSet tpos sSet tpos sSet comp tpos comp
16 oppchom.h . . . . . 6
17 fvex 5835 . . . . . 6
1816, 17eqeltri 2502 . . . . 5
1918tposex 6962 . . . 4 tpos
201setsid 15107 . . . 4 tpos tpos sSet tpos
2119, 20mpan2 675 . . 3 tpos sSet tpos
22 eqid 2428 . . . . 5
23 eqid 2428 . . . . 5 comp comp
24 oppchom.o . . . . 5 oppCat
2522, 16, 23, 24oppcval 15561 . . . 4 sSet tpos sSet comp tpos comp
2625fveq2d 5829 . . 3 sSet tpos sSet comp tpos comp
2715, 21, 263eqtr4a 2488 . 2 tpos
28 tpos0 6958 . . 3 tpos
29 fvprc 5819 . . . . 5
3016, 29syl5eq 2474 . . . 4
3130tposeqd 6931 . . 3 tpos tpos
32 fvprc 5819 . . . . . 6 oppCat
3324, 32syl5eq 2474 . . . . 5
3433fveq2d 5829 . . . 4
35 df-hom 15157 . . . . 5 Slot ;
3635str0 15104 . . . 4
3734, 36syl6eqr 2480 . . 3
3828, 31, 373eqtr4a 2488 . 2 tpos
3927, 38pm2.61i 167 1 tpos
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wceq 1437   wcel 1872   wne 2599  cvv 3022  c0 3704  cop 3947   cxp 4794  cfv 5544  (class class class)co 6249   cmpt2 6251  c1st 6749  c2nd 6750  tpos ctpos 6927  c1 9491  c4 10612  c5 10613  ;cdc 11002  cnx 15061   sSet csts 15062  cbs 15064   chom 15144  compcco 15145  oppCatcoppc 15559 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-tpos 6928  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-dec 11003  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-sets 15070  df-hom 15157  df-cco 15158  df-oppc 15560 This theorem is referenced by:  oppchom  15563
 Copyright terms: Public domain W3C validator