MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfval Structured version   Unicode version

Theorem oppchomfval 14987
Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
oppchom.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
oppchomfval  |- tpos  H  =  ( Hom  `  O
)

Proof of Theorem oppchomfval
Dummy variables  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 14688 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
2 1nn0 10823 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3 4nn 10707 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 11001 . . . . . . 7  |- ; 1 4  e.  NN
54nnrei 10557 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  RR
6 4nn0 10826 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
7 5nn 10708 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
8 4lt5 10720 . . . . . . 7  |-  4  <  5
92, 6, 7, 8declt 11009 . . . . . 6  |- ; 1 4  < ; 1 5
105, 9ltneii 9709 . . . . 5  |- ; 1 4  =/= ; 1 5
11 homndx 14687 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
12 ccondx 14689 . . . . . 6  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
1311, 12neeq12i 2756 . . . . 5  |-  ( ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  <-> ; 1 4  =/= ; 1 5 )
1410, 13mpbir 209 . . . 4  |-  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
151, 14setsnid 14549 . . 3  |-  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos 
H >. ) )  =  ( Hom  `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
16 oppchom.h . . . . . 6  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
17 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  e.  _V
1816, 17eqeltri 2551 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
1918tposex 7001 . . . 4  |- tpos  H  e. 
_V
201setsid 14548 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\ tpos  H  e.  _V )  -> tpos  H  =  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. )
) )
2119, 20mpan2 671 . . 3  |-  ( C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. )
) )
22 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
23 eqid 2467 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
24 oppchom.o . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2522, 16, 23, 24oppcval 14986 . . . 4  |-  ( C  e.  _V  ->  O  =  ( ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <.
(comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
2625fveq2d 5876 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) ) )
2715, 21, 263eqtr4a 2534 . 2  |-  ( C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  O
) )
28 tpos0 6997 . . 3  |- tpos  (/)  =  (/)
29 fvprc 5866 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  C )  =  (/) )
3016, 29syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  H  =  (/) )
3130tposeqd 6970 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  -> tpos  H  = tpos  (/) )
32 fvprc 5866 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (oppCat `  C )  =  (/) )
3324, 32syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  O  =  (/) )
3433fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  (/) ) )
35 df-hom 14596 . . . . 5  |-  Hom  = Slot ; 1 4
3635str0 14545 . . . 4  |-  (/)  =  ( Hom  `  (/) )
3734, 36syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  (/) )
3828, 31, 373eqtr4a 2534 . 2  |-  ( -.  C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  O
) )
3927, 38pm2.61i 164 1  |- tpos  H  =  ( Hom  `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   <.cop 4039    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794  tpos ctpos 6966   1c1 9505   4c4 10599   5c5 10600  ;cdc 10988   ndxcnx 14504   sSet csts 14505   Basecbs 14507   Hom chom 14583  compcco 14584  oppCatcoppc 14984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-dec 10989  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-sets 14513  df-hom 14596  df-cco 14597  df-oppc 14985
This theorem is referenced by:  oppchom  14988
  Copyright terms: Public domain W3C validator