MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfval Structured version   Unicode version

Theorem oppchomfval 15562
Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
oppchom.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
oppchomfval  |- tpos  H  =  ( Hom  `  O
)

Proof of Theorem oppchomfval
Dummy variables  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 15256 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
2 1nn0 10836 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3 4nn 10720 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 11015 . . . . . . 7  |- ; 1 4  e.  NN
54nnrei 10569 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  RR
6 4nn0 10839 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
7 5nn 10721 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
8 4lt5 10733 . . . . . . 7  |-  4  <  5
92, 6, 7, 8declt 11023 . . . . . 6  |- ; 1 4  < ; 1 5
105, 9ltneii 9698 . . . . 5  |- ; 1 4  =/= ; 1 5
11 homndx 15255 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
12 ccondx 15257 . . . . . 6  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
1311, 12neeq12i 2667 . . . . 5  |-  ( ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  <-> ; 1 4  =/= ; 1 5 )
1410, 13mpbir 212 . . . 4  |-  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
151, 14setsnid 15108 . . 3  |-  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos 
H >. ) )  =  ( Hom  `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
16 oppchom.h . . . . . 6  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
17 fvex 5835 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  e.  _V
1816, 17eqeltri 2502 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
1918tposex 6962 . . . 4  |- tpos  H  e. 
_V
201setsid 15107 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\ tpos  H  e.  _V )  -> tpos  H  =  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. )
) )
2119, 20mpan2 675 . . 3  |-  ( C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. )
) )
22 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
23 eqid 2428 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
24 oppchom.o . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2522, 16, 23, 24oppcval 15561 . . . 4  |-  ( C  e.  _V  ->  O  =  ( ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <.
(comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
2625fveq2d 5829 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) ) )
2715, 21, 263eqtr4a 2488 . 2  |-  ( C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  O
) )
28 tpos0 6958 . . 3  |- tpos  (/)  =  (/)
29 fvprc 5819 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  C )  =  (/) )
3016, 29syl5eq 2474 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  H  =  (/) )
3130tposeqd 6931 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  -> tpos  H  = tpos  (/) )
32 fvprc 5819 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (oppCat `  C )  =  (/) )
3324, 32syl5eq 2474 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  O  =  (/) )
3433fveq2d 5829 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  (/) ) )
35 df-hom 15157 . . . . 5  |-  Hom  = Slot ; 1 4
3635str0 15104 . . . 4  |-  (/)  =  ( Hom  `  (/) )
3734, 36syl6eqr 2480 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  (/) )
3828, 31, 373eqtr4a 2488 . 2  |-  ( -.  C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  O
) )
3927, 38pm2.61i 167 1  |- tpos  H  =  ( Hom  `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   _Vcvv 3022   (/)c0 3704   <.cop 3947    X. cxp 4794   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    |-> cmpt2 6251   1stc1st 6749   2ndc2nd 6750  tpos ctpos 6927   1c1 9491   4c4 10612   5c5 10613  ;cdc 11002   ndxcnx 15061   sSet csts 15062   Basecbs 15064   Hom chom 15144  compcco 15145  oppCatcoppc 15559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-tpos 6928  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-dec 11003  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-sets 15070  df-hom 15157  df-cco 15158  df-oppc 15560
This theorem is referenced by:  oppchom  15563
  Copyright terms: Public domain W3C validator