MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfval Structured version   Unicode version

Theorem oppchomfval 14653
Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
oppchom.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
oppchomfval  |- tpos  H  =  ( Hom  `  O
)

Proof of Theorem oppchomfval
Dummy variables  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 14354 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
2 1nn0 10595 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3 4nn 10481 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10768 . . . . . . 7  |- ; 1 4  e.  NN
54nnrei 10331 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  RR
6 4nn0 10598 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
7 5nn 10482 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
8 4lt5 10494 . . . . . . 7  |-  4  <  5
92, 6, 7, 8declt 10776 . . . . . 6  |- ; 1 4  < ; 1 5
105, 9ltneii 9487 . . . . 5  |- ; 1 4  =/= ; 1 5
11 homndx 14353 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
12 ccondx 14355 . . . . . 6  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
1311, 12neeq12i 2620 . . . . 5  |-  ( ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  <-> ; 1 4  =/= ; 1 5 )
1410, 13mpbir 209 . . . 4  |-  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
151, 14setsnid 14216 . . 3  |-  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos 
H >. ) )  =  ( Hom  `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
16 oppchom.h . . . . . 6  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
17 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  e.  _V
1816, 17eqeltri 2513 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
1918tposex 6779 . . . 4  |- tpos  H  e. 
_V
201setsid 14215 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\ tpos  H  e.  _V )  -> tpos  H  =  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. )
) )
2119, 20mpan2 671 . . 3  |-  ( C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. )
) )
22 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
23 eqid 2443 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
24 oppchom.o . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2522, 16, 23, 24oppcval 14652 . . . 4  |-  ( C  e.  _V  ->  O  =  ( ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <.
(comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
2625fveq2d 5695 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  H >. ) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) ) )
2715, 21, 263eqtr4a 2501 . 2  |-  ( C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  O
) )
28 tpos0 6775 . . 3  |- tpos  (/)  =  (/)
29 fvprc 5685 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  C )  =  (/) )
3016, 29syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  H  =  (/) )
3130tposeqd 6748 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  -> tpos  H  = tpos  (/) )
32 fvprc 5685 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (oppCat `  C )  =  (/) )
3324, 32syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  O  =  (/) )
3433fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  (/) ) )
35 df-hom 14262 . . . . 5  |-  Hom  = Slot ; 1 4
3635str0 14212 . . . 4  |-  (/)  =  ( Hom  `  (/) )
3734, 36syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( Hom  `  O )  =  (/) )
3828, 31, 373eqtr4a 2501 . 2  |-  ( -.  C  e.  _V  -> tpos  H  =  ( Hom  `  O
) )
3927, 38pm2.61i 164 1  |- tpos  H  =  ( Hom  `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   _Vcvv 2972   (/)c0 3637   <.cop 3883    X. cxp 4838   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   1stc1st 6575   2ndc2nd 6576  tpos ctpos 6744   1c1 9283   4c4 10373   5c5 10374  ;cdc 10755   ndxcnx 14171   sSet csts 14172   Basecbs 14174   Hom chom 14249  compcco 14250  oppCatcoppc 14650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-dec 10756  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-sets 14180  df-hom 14262  df-cco 14263  df-oppc 14651
This theorem is referenced by:  oppchom  14654
  Copyright terms: Public domain W3C validator