MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcepi Structured version   Unicode version

Theorem oppcepi 15168
Description: An epimorphism in the opposite category is a monomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcmon.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcmon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
oppcepi.e  |-  E  =  (Epi `  O )
oppcepi.m  |-  M  =  (Mono `  C )
Assertion
Ref Expression
oppcepi  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  =  ( Y M X ) )

Proof of Theorem oppcepi
StepHypRef Expression
1 oppcepi.m . . . 4  |-  M  =  (Mono `  C )
2 oppcmon.o . . . . . . 7  |-  O  =  (oppCat `  C )
322oppchomf 15153 . . . . . 6  |-  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O )
)
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O
) ) )
522oppccomf 15154 . . . . . 6  |-  (compf `  C
)  =  (compf `  (oppCat `  O ) )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  (oppCat `  O ) ) )
7 oppcmon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
82oppccat 15151 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  Cat )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  Cat )
10 eqid 2396 . . . . . . 7  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
1110oppccat 15151 . . . . . 6  |-  ( O  e.  Cat  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppCat `  O )  e.  Cat )
134, 6, 7, 12monpropd 15166 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Mono `  C )  =  (Mono `  (oppCat `  O
) ) )
141, 13syl5eq 2449 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  (Mono `  (oppCat `  O ) ) )
1514oveqd 6235 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y M X )  =  ( Y (Mono `  (oppCat `  O
) ) X ) )
16 eqid 2396 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  O ) )  =  (Mono `  (oppCat `  O ) )
17 oppcepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  O )
1810, 9, 16, 17oppcmon 15167 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  O ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1915, 18eqtr2d 2438 1  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  =  ( Y M X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1836   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   Catccat 15094   Hom f chomf 15096  compfccomf 15097  oppCatcoppc 15140  Monocmon 15157  Epicepi 15158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-tpos 6895  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-hom 14749  df-cco 14750  df-cat 15098  df-cid 15099  df-homf 15100  df-comf 15101  df-oppc 15141  df-mon 15159  df-epi 15160
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator