Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppccomfpropd Structured version   Unicode version

Theorem oppccomfpropd 15142
 Description: If two categories have the same hom-sets and composition, so do their opposites. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchomfpropd.1 f f
oppccomfpropd.1 compf compf
Assertion
Ref Expression
oppccomfpropd compfoppCat compfoppCat

Proof of Theorem oppccomfpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . 6
2 eqid 2457 . . . . . 6
3 eqid 2457 . . . . . 6 comp comp
4 eqid 2457 . . . . . 6 comp comp
5 oppchomfpropd.1 . . . . . . 7 f f
65ad2antrr 725 . . . . . 6 oppCat oppCat f f
7 oppccomfpropd.1 . . . . . . 7 compf compf
87ad2antrr 725 . . . . . 6 oppCat oppCat compf compf
9 simplr3 1040 . . . . . 6 oppCat oppCat
10 simplr2 1039 . . . . . 6 oppCat oppCat
11 simplr1 1038 . . . . . 6 oppCat oppCat
12 simprr 757 . . . . . . 7 oppCat oppCat oppCat
13 eqid 2457 . . . . . . . 8 oppCat oppCat
142, 13oppchom 15130 . . . . . . 7 oppCat
1512, 14syl6eleq 2555 . . . . . 6 oppCat oppCat
16 simprl 756 . . . . . . 7 oppCat oppCat oppCat
172, 13oppchom 15130 . . . . . . 7 oppCat
1816, 17syl6eleq 2555 . . . . . 6 oppCat oppCat
191, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 15, 18comfeqval 15123 . . . . 5 oppCat oppCat comp comp
201, 3, 13, 11, 10, 9oppcco 15132 . . . . 5 oppCat oppCat compoppCat comp
21 eqid 2457 . . . . . 6
22 eqid 2457 . . . . . 6 oppCat oppCat
235homfeqbas 15111 . . . . . . . 8
2423ad2antrr 725 . . . . . . 7 oppCat oppCat
2511, 24eleqtrd 2547 . . . . . 6 oppCat oppCat
2610, 24eleqtrd 2547 . . . . . 6 oppCat oppCat
279, 24eleqtrd 2547 . . . . . 6 oppCat oppCat
2821, 4, 22, 25, 26, 27oppcco 15132 . . . . 5 oppCat oppCat compoppCat comp
2919, 20, 283eqtr4d 2508 . . . 4 oppCat oppCat compoppCat compoppCat
3029ralrimivva 2878 . . 3 oppCat oppCat compoppCat compoppCat
3130ralrimivvva 2879 . 2 oppCat oppCat compoppCat compoppCat
32 eqid 2457 . . 3 compoppCat compoppCat
33 eqid 2457 . . 3 compoppCat compoppCat
34 eqid 2457 . . 3 oppCat oppCat
3513, 1oppcbas 15133 . . . 4 oppCat
3635a1i 11 . . 3 oppCat
3722, 21oppcbas 15133 . . . 4 oppCat
3823, 37syl6eq 2514 . . 3 oppCat
395oppchomfpropd 15141 . . 3 f oppCat f oppCat
4032, 33, 34, 36, 38, 39comfeq 15121 . 2 compfoppCat compfoppCat oppCat oppCat compoppCat compoppCat
4131, 40mpbird 232 1 compfoppCat compfoppCat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  cop 4038  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14643   chom 14722  compcco 14723   f chomf 15082  compfccomf 15083  oppCatcoppc 15126 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-hom 14735  df-cco 14736  df-homf 15086  df-comf 15087  df-oppc 15127 This theorem is referenced by:  yonpropd  15663
 Copyright terms: Public domain W3C validator