Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppccofval Structured version   Unicode version

Theorem oppccofval 15331
 Description: Composition in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcco.b
oppcco.c comp
oppcco.o oppCat
oppcco.x
oppcco.y
oppcco.z
Assertion
Ref Expression
oppccofval comp tpos

Proof of Theorem oppccofval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcco.x . . . . 5
2 elfvex 5878 . . . . . 6
3 oppcco.b . . . . . 6
42, 3eleq2s 2512 . . . . 5
5 eqid 2404 . . . . . 6
6 oppcco.c . . . . . 6 comp
7 oppcco.o . . . . . 6 oppCat
83, 5, 6, 7oppcval 15328 . . . . 5 sSet tpos sSet comp tpos
91, 4, 83syl 18 . . . 4 sSet tpos sSet comp tpos
109fveq2d 5855 . . 3 comp comp sSet tpos sSet comp tpos
11 ovex 6308 . . . 4 sSet tpos
12 fvex 5861 . . . . . . 7
133, 12eqeltri 2488 . . . . . 6
1413, 13xpex 6588 . . . . 5
1514, 13mpt2ex 6863 . . . 4 tpos
16 ccoid 15033 . . . . 5 comp Slot comp
1716setsid 14886 . . . 4 sSet tpos tpos tpos comp sSet tpos sSet comp tpos
1811, 15, 17mp2an 672 . . 3 tpos comp sSet tpos sSet comp tpos
1910, 18syl6eqr 2463 . 2 comp tpos
20 simprr 760 . . . . 5
21 simprl 758 . . . . . . 7
2221fveq2d 5855 . . . . . 6
231adantr 465 . . . . . . 7
24 oppcco.y . . . . . . . 8
2524adantr 465 . . . . . . 7
26 op2ndg 6799 . . . . . . 7
2723, 25, 26syl2anc 661 . . . . . 6
2822, 27eqtrd 2445 . . . . 5
2920, 28opeq12d 4169 . . . 4
3021fveq2d 5855 . . . . 5
31 op1stg 6798 . . . . . 6
3223, 25, 31syl2anc 661 . . . . 5
3330, 32eqtrd 2445 . . . 4
3429, 33oveq12d 6298 . . 3
3534tposeqd 6963 . 2 tpos tpos
36 opelxpi 4857 . . 3
371, 24, 36syl2anc 661 . 2
38 oppcco.z . 2
39 ovex 6308 . . . 4
4039tposex 6994 . . 3 tpos
4140a1i 11 . 2 tpos
4219, 35, 37, 38, 41ovmpt2d 6413 1 comp tpos
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1407   wcel 1844  cvv 3061  cop 3980   cxp 4823  cfv 5571  (class class class)co 6280   cmpt2 6282  c1st 6784  c2nd 6785  tpos ctpos 6959  cnx 14840   sSet csts 14841  cbs 14843   chom 14922  compcco 14923  oppCatcoppc 15326 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-ltxr 9665  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-dec 11022  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-sets 14849  df-cco 14936  df-oppc 15327 This theorem is referenced by:  oppcco  15332
 Copyright terms: Public domain W3C validator