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Theorem oppccatid 14971
Description: Lemma for oppccat 14974. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
oppccatid  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( Id `  C
) ) )

Proof of Theorem oppccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.1 . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
31, 2oppcbas 14970 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
43a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  O
) )
5 eqidd 2468 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  O
) )
6 eqidd 2468 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (comp `  O )  =  (comp `  O ) )
7 fvex 5874 . . . . 5  |-  (oppCat `  C )  e.  _V
81, 7eqeltri 2551 . . . 4  |-  O  e. 
_V
98a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  _V )
10 biid 236 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) )  <-> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )
11 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
12 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
13 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  ->  C  e.  Cat )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
y  e.  ( Base `  C ) )
152, 11, 12, 13, 14catidcl 14933 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  y
)  e.  ( y ( Hom  `  C
) y ) )
1611, 1oppchom 14967 . . . 4  |-  ( y ( Hom  `  O
) y )  =  ( y ( Hom  `  C ) y )
1715, 16syl6eleqr 2566 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  y
)  e.  ( y ( Hom  `  O
) y ) )
18 eqid 2467 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
19 simpr1l 1053 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
20 simpr1r 1054 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
212, 18, 1, 19, 20, 20oppcco 14969 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
y ) f )  =  ( f (
<. y ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( ( Id `  C ) `
 y ) ) )
22 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  C  e.  Cat )
23 simpr31 1086 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y ) )
2411, 1oppchom 14967 . . . . . 6  |-  ( x ( Hom  `  O
) y )  =  ( y ( Hom  `  C ) x )
2523, 24syl6eleq 2565 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )
262, 11, 12, 22, 20, 18, 19, 25catrid 14935 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( f
( <. y ,  y
>. (comp `  C )
x ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  f )
2721, 26eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
y ) f )  =  f )
28 simpr2l 1055 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  C )
)
292, 18, 1, 20, 20, 28oppcco 14969 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  y
>. (comp `  O )
z ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  ( ( ( Id `  C ) `
 y ) (
<. z ,  y >.
(comp `  C )
y ) g ) )
30 simpr32 1087 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  O ) z ) )
3111, 1oppchom 14967 . . . . . 6  |-  ( y ( Hom  `  O
) z )  =  ( z ( Hom  `  C ) y )
3230, 31syl6eleq 2565 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  g  e.  ( z ( Hom  `  C ) y ) )
332, 11, 12, 22, 28, 18, 20, 32catlid 14934 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. z ,  y
>. (comp `  C )
y ) g )  =  g )
3429, 33eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  y
>. (comp `  O )
z ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  g )
352, 18, 1, 19, 20, 28oppcco 14969 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  =  ( f (
<. z ,  y >.
(comp `  C )
x ) g ) )
362, 11, 18, 22, 28, 20, 19, 32, 25catcocl 14936 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( f
( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g )  e.  ( z ( Hom  `  C )
x ) )
3735, 36eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  e.  ( z ( Hom  `  C )
x ) )
3811, 1oppchom 14967 . . . 4  |-  ( x ( Hom  `  O
) z )  =  ( z ( Hom  `  C ) x )
3937, 38syl6eleqr 2566 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  O )
z ) )
40 simpr2r 1056 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  w  e.  ( Base `  C )
)
41 simpr33 1088 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  h  e.  ( z ( Hom  `  O ) w ) )
4211, 1oppchom 14967 . . . . . . 7  |-  ( z ( Hom  `  O
) w )  =  ( w ( Hom  `  C ) z )
4341, 42syl6eleq 2565 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  h  e.  ( w ( Hom  `  C ) z ) )
442, 11, 18, 22, 40, 28, 20, 43, 32, 19, 25catass 14937 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
f ( <. z ,  y >. (comp `  C ) x ) g ) ( <.
w ,  z >.
(comp `  C )
x ) h )  =  ( f (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ) )
452, 18, 1, 19, 28, 40oppcco 14969 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) )  =  ( ( f ( <. z ,  y >. (comp `  C ) x ) g ) ( <.
w ,  z >.
(comp `  C )
x ) h ) )
462, 18, 1, 19, 20, 40oppcco 14969 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. w ,  z >. (comp `  C ) y ) h ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( f (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ) )
4744, 45, 463eqtr4rd 2519 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. w ,  z >. (comp `  C ) y ) h ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( h (
<. x ,  z >.
(comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) ) )
482, 18, 1, 20, 28, 40oppcco 14969 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. y ,  z
>. (comp `  O )
w ) g )  =  ( g (
<. w ,  z >.
(comp `  C )
y ) h ) )
4948oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
h ( <. y ,  z >. (comp `  O ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
w ) f ) )
5035oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f ) )  =  ( h ( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) ) )
5147, 49, 503eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
h ( <. y ,  z >. (comp `  O ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( h (
<. x ,  z >.
(comp `  O )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f ) ) )
524, 5, 6, 9, 10, 17, 27, 34, 39, 51iscatd2 14932 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( y  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `  y
) ) ) )
532, 12cidfn 14930 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  Fn  ( Base `  C
) )
54 dffn5 5911 . . . . 5  |-  ( ( Id `  C )  Fn  ( Base `  C
)  <->  ( Id `  C )  =  ( y  e.  ( Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `
 y ) ) )
5553, 54sylib 196 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  =  ( y  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `  y
) ) )
5655eqeq2d 2481 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
( Id `  O
)  =  ( Id
`  C )  <->  ( Id `  O )  =  ( y  e.  ( Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `
 y ) ) ) )
5756anbi2d 703 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O
)  =  ( Id
`  C ) )  <-> 
( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O
)  =  ( y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( ( Id
`  C ) `  y ) ) ) ) )
5852, 57mpbird 232 1  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( Id `  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   <.cop 4033    |-> cmpt 4505    Fn wfn 5581   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   Hom chom 14562  compcco 14563   Catccat 14915   Idccid 14916  oppCatcoppc 14963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-hom 14575  df-cco 14576  df-cat 14919  df-cid 14920  df-oppc 14964
This theorem is referenced by:  oppcid  14973  oppccat  14974
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