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Theorem oppccatid 15134
Description: Lemma for oppccat 15137. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
oppccatid  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( Id `  C
) ) )

Proof of Theorem oppccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.1 . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
31, 2oppcbas 15133 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
43a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  O
) )
5 eqidd 2458 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  O
) )
6 eqidd 2458 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (comp `  O )  =  (comp `  O ) )
7 fvex 5882 . . . . 5  |-  (oppCat `  C )  e.  _V
81, 7eqeltri 2541 . . . 4  |-  O  e. 
_V
98a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  _V )
10 biid 236 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) )  <-> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )
11 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
12 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
13 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  ->  C  e.  Cat )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
y  e.  ( Base `  C ) )
152, 11, 12, 13, 14catidcl 15098 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  y
)  e.  ( y ( Hom  `  C
) y ) )
1611, 1oppchom 15130 . . . 4  |-  ( y ( Hom  `  O
) y )  =  ( y ( Hom  `  C ) y )
1715, 16syl6eleqr 2556 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  y
)  e.  ( y ( Hom  `  O
) y ) )
18 eqid 2457 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
19 simpr1l 1053 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
20 simpr1r 1054 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
212, 18, 1, 19, 20, 20oppcco 15132 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
y ) f )  =  ( f (
<. y ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( ( Id `  C ) `
 y ) ) )
22 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  C  e.  Cat )
23 simpr31 1086 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y ) )
2411, 1oppchom 15130 . . . . . 6  |-  ( x ( Hom  `  O
) y )  =  ( y ( Hom  `  C ) x )
2523, 24syl6eleq 2555 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )
262, 11, 12, 22, 20, 18, 19, 25catrid 15100 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( f
( <. y ,  y
>. (comp `  C )
x ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  f )
2721, 26eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
y ) f )  =  f )
28 simpr2l 1055 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  C )
)
292, 18, 1, 20, 20, 28oppcco 15132 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  y
>. (comp `  O )
z ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  ( ( ( Id `  C ) `
 y ) (
<. z ,  y >.
(comp `  C )
y ) g ) )
30 simpr32 1087 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  O ) z ) )
3111, 1oppchom 15130 . . . . . 6  |-  ( y ( Hom  `  O
) z )  =  ( z ( Hom  `  C ) y )
3230, 31syl6eleq 2555 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  g  e.  ( z ( Hom  `  C ) y ) )
332, 11, 12, 22, 28, 18, 20, 32catlid 15099 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. z ,  y
>. (comp `  C )
y ) g )  =  g )
3429, 33eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  y
>. (comp `  O )
z ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  g )
352, 18, 1, 19, 20, 28oppcco 15132 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  =  ( f (
<. z ,  y >.
(comp `  C )
x ) g ) )
362, 11, 18, 22, 28, 20, 19, 32, 25catcocl 15101 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( f
( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g )  e.  ( z ( Hom  `  C )
x ) )
3735, 36eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  e.  ( z ( Hom  `  C )
x ) )
3811, 1oppchom 15130 . . . 4  |-  ( x ( Hom  `  O
) z )  =  ( z ( Hom  `  C ) x )
3937, 38syl6eleqr 2556 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  O )
z ) )
40 simpr2r 1056 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  w  e.  ( Base `  C )
)
41 simpr33 1088 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  h  e.  ( z ( Hom  `  O ) w ) )
4211, 1oppchom 15130 . . . . . . 7  |-  ( z ( Hom  `  O
) w )  =  ( w ( Hom  `  C ) z )
4341, 42syl6eleq 2555 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  h  e.  ( w ( Hom  `  C ) z ) )
442, 11, 18, 22, 40, 28, 20, 43, 32, 19, 25catass 15102 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
f ( <. z ,  y >. (comp `  C ) x ) g ) ( <.
w ,  z >.
(comp `  C )
x ) h )  =  ( f (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ) )
452, 18, 1, 19, 28, 40oppcco 15132 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) )  =  ( ( f ( <. z ,  y >. (comp `  C ) x ) g ) ( <.
w ,  z >.
(comp `  C )
x ) h ) )
462, 18, 1, 19, 20, 40oppcco 15132 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. w ,  z >. (comp `  C ) y ) h ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( f (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ) )
4744, 45, 463eqtr4rd 2509 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. w ,  z >. (comp `  C ) y ) h ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( h (
<. x ,  z >.
(comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) ) )
482, 18, 1, 20, 28, 40oppcco 15132 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. y ,  z
>. (comp `  O )
w ) g )  =  ( g (
<. w ,  z >.
(comp `  C )
y ) h ) )
4948oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
h ( <. y ,  z >. (comp `  O ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
w ) f ) )
5035oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f ) )  =  ( h ( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) ) )
5147, 49, 503eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
h ( <. y ,  z >. (comp `  O ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( h (
<. x ,  z >.
(comp `  O )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f ) ) )
524, 5, 6, 9, 10, 17, 27, 34, 39, 51iscatd2 15097 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( y  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `  y
) ) ) )
532, 12cidfn 15095 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  Fn  ( Base `  C
) )
54 dffn5 5918 . . . . 5  |-  ( ( Id `  C )  Fn  ( Base `  C
)  <->  ( Id `  C )  =  ( y  e.  ( Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `
 y ) ) )
5553, 54sylib 196 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  =  ( y  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `  y
) ) )
5655eqeq2d 2471 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
( Id `  O
)  =  ( Id
`  C )  <->  ( Id `  O )  =  ( y  e.  ( Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `
 y ) ) ) )
5756anbi2d 703 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O
)  =  ( Id
`  C ) )  <-> 
( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O
)  =  ( y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( ( Id
`  C ) `  y ) ) ) ) )
5852, 57mpbird 232 1  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( Id `  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   <.cop 4038    |-> cmpt 4515    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   Hom chom 14722  compcco 14723   Catccat 15080   Idccid 15081  oppCatcoppc 15126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-hom 14735  df-cco 14736  df-cat 15084  df-cid 15085  df-oppc 15127
This theorem is referenced by:  oppcid  15136  oppccat  15137
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