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Theorem oppccatid 14654
Description: Lemma for oppccat 14657. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
oppccatid  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( Id `  C
) ) )

Proof of Theorem oppccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.1 . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
31, 2oppcbas 14653 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
43a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  O
) )
5 eqidd 2442 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  O
) )
6 eqidd 2442 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (comp `  O )  =  (comp `  O ) )
7 fvex 5698 . . . . 5  |-  (oppCat `  C )  e.  _V
81, 7eqeltri 2511 . . . 4  |-  O  e. 
_V
98a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  _V )
10 biid 236 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) )  <-> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )
11 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
12 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
13 simpl 454 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  ->  C  e.  Cat )
14 simpr 458 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
y  e.  ( Base `  C ) )
152, 11, 12, 13, 14catidcl 14616 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  y
)  e.  ( y ( Hom  `  C
) y ) )
1611, 1oppchom 14650 . . . 4  |-  ( y ( Hom  `  O
) y )  =  ( y ( Hom  `  C ) y )
1715, 16syl6eleqr 2532 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  y
)  e.  ( y ( Hom  `  O
) y ) )
18 eqid 2441 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
19 simpr1l 1040 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
20 simpr1r 1041 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
212, 18, 1, 19, 20, 20oppcco 14652 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
y ) f )  =  ( f (
<. y ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( ( Id `  C ) `
 y ) ) )
22 simpl 454 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  C  e.  Cat )
23 simpr31 1073 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y ) )
2411, 1oppchom 14650 . . . . . 6  |-  ( x ( Hom  `  O
) y )  =  ( y ( Hom  `  C ) x )
2523, 24syl6eleq 2531 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )
262, 11, 12, 22, 20, 18, 19, 25catrid 14618 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( f
( <. y ,  y
>. (comp `  C )
x ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  f )
2721, 26eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
y ) f )  =  f )
28 simpr2l 1042 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  C )
)
292, 18, 1, 20, 20, 28oppcco 14652 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  y
>. (comp `  O )
z ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  ( ( ( Id `  C ) `
 y ) (
<. z ,  y >.
(comp `  C )
y ) g ) )
30 simpr32 1074 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  O ) z ) )
3111, 1oppchom 14650 . . . . . 6  |-  ( y ( Hom  `  O
) z )  =  ( z ( Hom  `  C ) y )
3230, 31syl6eleq 2531 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  g  e.  ( z ( Hom  `  C ) y ) )
332, 11, 12, 22, 28, 18, 20, 32catlid 14617 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. z ,  y
>. (comp `  C )
y ) g )  =  g )
3429, 33eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  y
>. (comp `  O )
z ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  g )
352, 18, 1, 19, 20, 28oppcco 14652 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  =  ( f (
<. z ,  y >.
(comp `  C )
x ) g ) )
362, 11, 18, 22, 28, 20, 19, 32, 25catcocl 14619 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( f
( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g )  e.  ( z ( Hom  `  C )
x ) )
3735, 36eqeltrd 2515 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  e.  ( z ( Hom  `  C )
x ) )
3811, 1oppchom 14650 . . . 4  |-  ( x ( Hom  `  O
) z )  =  ( z ( Hom  `  C ) x )
3937, 38syl6eleqr 2532 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  O )
z ) )
40 simpr2r 1043 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  w  e.  ( Base `  C )
)
41 simpr33 1075 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  h  e.  ( z ( Hom  `  O ) w ) )
4211, 1oppchom 14650 . . . . . . 7  |-  ( z ( Hom  `  O
) w )  =  ( w ( Hom  `  C ) z )
4341, 42syl6eleq 2531 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  h  e.  ( w ( Hom  `  C ) z ) )
442, 11, 18, 22, 40, 28, 20, 43, 32, 19, 25catass 14620 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
f ( <. z ,  y >. (comp `  C ) x ) g ) ( <.
w ,  z >.
(comp `  C )
x ) h )  =  ( f (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ) )
452, 18, 1, 19, 28, 40oppcco 14652 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) )  =  ( ( f ( <. z ,  y >. (comp `  C ) x ) g ) ( <.
w ,  z >.
(comp `  C )
x ) h ) )
462, 18, 1, 19, 20, 40oppcco 14652 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. w ,  z >. (comp `  C ) y ) h ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( f (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ) )
4744, 45, 463eqtr4rd 2484 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. w ,  z >. (comp `  C ) y ) h ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( h (
<. x ,  z >.
(comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) ) )
482, 18, 1, 20, 28, 40oppcco 14652 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. y ,  z
>. (comp `  O )
w ) g )  =  ( g (
<. w ,  z >.
(comp `  C )
y ) h ) )
4948oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
h ( <. y ,  z >. (comp `  O ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
w ) f ) )
5035oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f ) )  =  ( h ( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) ) )
5147, 49, 503eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
h ( <. y ,  z >. (comp `  O ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( h (
<. x ,  z >.
(comp `  O )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f ) ) )
524, 5, 6, 9, 10, 17, 27, 34, 39, 51iscatd2 14615 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( y  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `  y
) ) ) )
532, 12cidfn 14613 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  Fn  ( Base `  C
) )
54 dffn5 5734 . . . . 5  |-  ( ( Id `  C )  Fn  ( Base `  C
)  <->  ( Id `  C )  =  ( y  e.  ( Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `
 y ) ) )
5553, 54sylib 196 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  =  ( y  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `  y
) ) )
5655eqeq2d 2452 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
( Id `  O
)  =  ( Id
`  C )  <->  ( Id `  O )  =  ( y  e.  ( Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `
 y ) ) ) )
5756anbi2d 698 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O
)  =  ( Id
`  C ) )  <-> 
( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O
)  =  ( y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( ( Id
`  C ) `  y ) ) ) ) )
5852, 57mpbird 232 1  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( Id `  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   <.cop 3880    e. cmpt 4347    Fn wfn 5410   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   Hom chom 14245  compcco 14246   Catccat 14598   Idccid 14599  oppCatcoppc 14646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-hom 14258  df-cco 14259  df-cat 14602  df-cid 14603  df-oppc 14647
This theorem is referenced by:  oppcid  14656  oppccat  14657
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