Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppccatid Structured version   Unicode version

Theorem oppccatid 14654
 Description: Lemma for oppccat 14657. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1 oppCat
Assertion
Ref Expression
oppccatid

Proof of Theorem oppccatid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.1 . . . . 5 oppCat
2 eqid 2441 . . . . 5
31, 2oppcbas 14653 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 eqidd 2442 . . 3
6 eqidd 2442 . . 3 comp comp
7 fvex 5698 . . . . 5 oppCat
81, 7eqeltri 2511 . . . 4
98a1i 11 . . 3
10 biid 236 . . 3
11 eqid 2441 . . . . 5
12 eqid 2441 . . . . 5
13 simpl 454 . . . . 5
14 simpr 458 . . . . 5
152, 11, 12, 13, 14catidcl 14616 . . . 4
1611, 1oppchom 14650 . . . 4
1715, 16syl6eleqr 2532 . . 3
18 eqid 2441 . . . . 5 comp comp
19 simpr1l 1040 . . . . 5
20 simpr1r 1041 . . . . 5
212, 18, 1, 19, 20, 20oppcco 14652 . . . 4 comp comp
22 simpl 454 . . . . 5
23 simpr31 1073 . . . . . 6
2411, 1oppchom 14650 . . . . . 6
2523, 24syl6eleq 2531 . . . . 5
262, 11, 12, 22, 20, 18, 19, 25catrid 14618 . . . 4 comp
2721, 26eqtrd 2473 . . 3 comp
28 simpr2l 1042 . . . . 5
292, 18, 1, 20, 20, 28oppcco 14652 . . . 4 comp comp
30 simpr32 1074 . . . . . 6
3111, 1oppchom 14650 . . . . . 6
3230, 31syl6eleq 2531 . . . . 5
332, 11, 12, 22, 28, 18, 20, 32catlid 14617 . . . 4 comp
3429, 33eqtrd 2473 . . 3 comp
352, 18, 1, 19, 20, 28oppcco 14652 . . . . 5 comp comp
362, 11, 18, 22, 28, 20, 19, 32, 25catcocl 14619 . . . . 5 comp
3735, 36eqeltrd 2515 . . . 4 comp
3811, 1oppchom 14650 . . . 4
3937, 38syl6eleqr 2532 . . 3 comp
40 simpr2r 1043 . . . . . 6
41 simpr33 1075 . . . . . . 7
4211, 1oppchom 14650 . . . . . . 7
4341, 42syl6eleq 2531 . . . . . 6
442, 11, 18, 22, 40, 28, 20, 43, 32, 19, 25catass 14620 . . . . 5 comp comp comp comp
452, 18, 1, 19, 28, 40oppcco 14652 . . . . 5 comp comp comp comp
462, 18, 1, 19, 20, 40oppcco 14652 . . . . 5 comp comp comp comp
4744, 45, 463eqtr4rd 2484 . . . 4 comp comp comp comp
482, 18, 1, 20, 28, 40oppcco 14652 . . . . 5 comp comp
4948oveq1d 6105 . . . 4 comp comp comp comp
5035oveq2d 6106 . . . 4 comp comp comp comp
5147, 49, 503eqtr4d 2483 . . 3 comp comp comp comp
524, 5, 6, 9, 10, 17, 27, 34, 39, 51iscatd2 14615 . 2
532, 12cidfn 14613 . . . . 5
54 dffn5 5734 . . . . 5
5553, 54sylib 196 . . . 4
5655eqeq2d 2452 . . 3
5756anbi2d 698 . 2
5852, 57mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 960   wceq 1364   wcel 1761  cvv 2970  cop 3880   cmpt 4347   wfn 5410  cfv 5415  (class class class)co 6090  cbs 14170   chom 14245  compcco 14246  ccat 14598  ccid 14599  oppCatcoppc 14646 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-hom 14258  df-cco 14259  df-cat 14602  df-cid 14603  df-oppc 14647 This theorem is referenced by:  oppcid  14656  oppccat  14657
 Copyright terms: Public domain W3C validator