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Theorem oppccatid 14673
Description: Lemma for oppccat 14676. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
oppccatid  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( Id `  C
) ) )

Proof of Theorem oppccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.1 . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
31, 2oppcbas 14672 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
43a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  O
) )
5 eqidd 2444 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Hom  `  O )  =  ( Hom  `  O
) )
6 eqidd 2444 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (comp `  O )  =  (comp `  O ) )
7 fvex 5716 . . . . 5  |-  (oppCat `  C )  e.  _V
81, 7eqeltri 2513 . . . 4  |-  O  e. 
_V
98a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  _V )
10 biid 236 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) )  <-> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )
11 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
13 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  ->  C  e.  Cat )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
y  e.  ( Base `  C ) )
152, 11, 12, 13, 14catidcl 14635 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  y
)  e.  ( y ( Hom  `  C
) y ) )
1611, 1oppchom 14669 . . . 4  |-  ( y ( Hom  `  O
) y )  =  ( y ( Hom  `  C ) y )
1715, 16syl6eleqr 2534 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  y
)  e.  ( y ( Hom  `  O
) y ) )
18 eqid 2443 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
19 simpr1l 1045 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
20 simpr1r 1046 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
212, 18, 1, 19, 20, 20oppcco 14671 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
y ) f )  =  ( f (
<. y ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( ( Id `  C ) `
 y ) ) )
22 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  C  e.  Cat )
23 simpr31 1078 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y ) )
2411, 1oppchom 14669 . . . . . 6  |-  ( x ( Hom  `  O
) y )  =  ( y ( Hom  `  C ) x )
2523, 24syl6eleq 2533 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  f  e.  ( y ( Hom  `  C ) x ) )
262, 11, 12, 22, 20, 18, 19, 25catrid 14637 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( f
( <. y ,  y
>. (comp `  C )
x ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  f )
2721, 26eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
y ) f )  =  f )
28 simpr2l 1047 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  C )
)
292, 18, 1, 20, 20, 28oppcco 14671 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  y
>. (comp `  O )
z ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  ( ( ( Id `  C ) `
 y ) (
<. z ,  y >.
(comp `  C )
y ) g ) )
30 simpr32 1079 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  O ) z ) )
3111, 1oppchom 14669 . . . . . 6  |-  ( y ( Hom  `  O
) z )  =  ( z ( Hom  `  C ) y )
3230, 31syl6eleq 2533 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  g  e.  ( z ( Hom  `  C ) y ) )
332, 11, 12, 22, 28, 18, 20, 32catlid 14636 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. z ,  y
>. (comp `  C )
y ) g )  =  g )
3429, 33eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  y
>. (comp `  O )
z ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  g )
352, 18, 1, 19, 20, 28oppcco 14671 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  =  ( f (
<. z ,  y >.
(comp `  C )
x ) g ) )
362, 11, 18, 22, 28, 20, 19, 32, 25catcocl 14638 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( f
( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g )  e.  ( z ( Hom  `  C )
x ) )
3735, 36eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  e.  ( z ( Hom  `  C )
x ) )
3811, 1oppchom 14669 . . . 4  |-  ( x ( Hom  `  O
) z )  =  ( z ( Hom  `  C ) x )
3937, 38syl6eleqr 2534 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  O )
z ) )
40 simpr2r 1048 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  w  e.  ( Base `  C )
)
41 simpr33 1080 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  h  e.  ( z ( Hom  `  O ) w ) )
4211, 1oppchom 14669 . . . . . . 7  |-  ( z ( Hom  `  O
) w )  =  ( w ( Hom  `  C ) z )
4341, 42syl6eleq 2533 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  h  e.  ( w ( Hom  `  C ) z ) )
442, 11, 18, 22, 40, 28, 20, 43, 32, 19, 25catass 14639 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
f ( <. z ,  y >. (comp `  C ) x ) g ) ( <.
w ,  z >.
(comp `  C )
x ) h )  =  ( f (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ) )
452, 18, 1, 19, 28, 40oppcco 14671 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) )  =  ( ( f ( <. z ,  y >. (comp `  C ) x ) g ) ( <.
w ,  z >.
(comp `  C )
x ) h ) )
462, 18, 1, 19, 20, 40oppcco 14671 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. w ,  z >. (comp `  C ) y ) h ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( f (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ) )
4744, 45, 463eqtr4rd 2486 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. w ,  z >. (comp `  C ) y ) h ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( h (
<. x ,  z >.
(comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) ) )
482, 18, 1, 20, 28, 40oppcco 14671 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. y ,  z
>. (comp `  O )
w ) g )  =  ( g (
<. w ,  z >.
(comp `  C )
y ) h ) )
4948oveq1d 6121 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
h ( <. y ,  z >. (comp `  O ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
w ) f ) )
5035oveq2d 6122 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f ) )  =  ( h ( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) ) )
5147, 49, 503eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x ( Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y ( Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
h ( <. y ,  z >. (comp `  O ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( h (
<. x ,  z >.
(comp `  O )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f ) ) )
524, 5, 6, 9, 10, 17, 27, 34, 39, 51iscatd2 14634 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( y  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `  y
) ) ) )
532, 12cidfn 14632 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  Fn  ( Base `  C
) )
54 dffn5 5752 . . . . 5  |-  ( ( Id `  C )  Fn  ( Base `  C
)  <->  ( Id `  C )  =  ( y  e.  ( Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `
 y ) ) )
5553, 54sylib 196 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  =  ( y  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `  y
) ) )
5655eqeq2d 2454 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
( Id `  O
)  =  ( Id
`  C )  <->  ( Id `  O )  =  ( y  e.  ( Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `
 y ) ) ) )
5756anbi2d 703 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O
)  =  ( Id
`  C ) )  <-> 
( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O
)  =  ( y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( ( Id
`  C ) `  y ) ) ) ) )
5852, 57mpbird 232 1  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( Id `  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987   <.cop 3898    e. cmpt 4365    Fn wfn 5428   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   Hom chom 14264  compcco 14265   Catccat 14617   Idccid 14618  oppCatcoppc 14665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-tpos 6760  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-hom 14277  df-cco 14278  df-cat 14621  df-cid 14622  df-oppc 14666
This theorem is referenced by:  oppcid  14675  oppccat  14676
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