MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcbas Structured version   Unicode version

Theorem oppcbas 15124
Description: Base set of an opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcbas.1  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcbas.2  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
oppcbas  |-  B  =  ( Base `  O
)

Proof of Theorem oppcbas
Dummy variables  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
3 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
4 eqid 2382 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
5 oppcbas.1 . . . . . 6  |-  O  =  (oppCat `  C )
62, 3, 4, 5oppcval 15119 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  O  =  ( ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C ) >. ) sSet  <.
(comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
76fveq2d 5778 . . . 4  |-  ( C  e.  _V  ->  ( Base `  O )  =  ( Base `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C ) >.
) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) ) )
8 baseid 14682 . . . . . 6  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
9 1re 9506 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
10 1nn 10463 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
11 4nn0 10731 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
12 1nn0 10728 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
13 1lt10 10663 . . . . . . . . 9  |-  1  <  10
1410, 11, 12, 13declti 10920 . . . . . . . 8  |-  1  < ; 1
4
159, 14ltneii 9608 . . . . . . 7  |-  1  =/= ; 1 4
16 basendx 14686 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ndx )  =  1
17 homndx 14821 . . . . . . . 8  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
1816, 17neeq12i 2671 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 4 )
1915, 18mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
208, 19setsnid 14678 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  ( C sSet  <.
( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C
) >. ) )
21 5nn 10613 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
22 4lt5 10625 . . . . . . . . . 10  |-  4  <  5
2312, 11, 21, 22declt 10916 . . . . . . . . 9  |- ; 1 4  < ; 1 5
24 4nn 10612 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
2512, 24decnncl 10908 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 4  e.  NN
2625nnrei 10461 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 4  e.  RR
2712, 21decnncl 10908 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 5  e.  NN
2827nnrei 10461 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 5  e.  RR
299, 26, 28lttri 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  < ; 1 4  /\ ; 1 4  < ; 1 5 )  -> 
1  < ; 1 5 )
3014, 23, 29mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  1  < ; 1
5
319, 30ltneii 9608 . . . . . . 7  |-  1  =/= ; 1 5
32 ccondx 14823 . . . . . . . 8  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
3316, 32neeq12i 2671 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  <->  1  =/= ; 1 5 )
3431, 33mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( Base `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
358, 34setsnid 14678 . . . . 5  |-  ( Base `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C
) >. ) )  =  ( Base `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C ) >.
) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
3620, 35eqtri 2411 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  ( ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C ) >. ) sSet  <.
(comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
377, 36syl6reqr 2442 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  O
) )
38 base0 14675 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
39 fvprc 5768 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (
Base `  C )  =  (/) )
40 fvprc 5768 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (oppCat `  C )  =  (/) )
415, 40syl5eq 2435 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  O  =  (/) )
4241fveq2d 5778 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (
Base `  O )  =  ( Base `  (/) ) )
4338, 39, 423eqtr4a 2449 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (
Base `  C )  =  ( Base `  O
) )
4437, 43pm2.61i 164 . 2  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
451, 44eqtri 2411 1  |-  B  =  ( Base `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   _Vcvv 3034   (/)c0 3711   <.cop 3950   class class class wbr 4367    X. cxp 4911   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   1stc1st 6697   2ndc2nd 6698  tpos ctpos 6872   1c1 9404    < clt 9539   4c4 10504   5c5 10505  ;cdc 10895   ndxcnx 14631   sSet csts 14632   Basecbs 14634   Hom chom 14713  compcco 14714  oppCatcoppc 15117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-hom 14726  df-cco 14727  df-oppc 15118
This theorem is referenced by:  oppccatid  15125  oppchomf  15126  2oppcbas  15129  2oppccomf  15131  oppccomfpropd  15133  isepi  15146  epii  15149  oppcsect  15184  oppcsect2  15185  oppcinv  15186  oppciso  15187  sectepi  15190  episect  15191  funcoppc  15281  fulloppc  15328  fthoppc  15329  fthepi  15334  hofcl  15645  yon11  15650  yon12  15651  yon2  15652  oyon1cl  15657  yonedalem21  15659  yonedalem3a  15660  yonedalem4c  15663  yonedalem22  15664  yonedalem3b  15665  yonedalem3  15666  yonedainv  15667  yonffthlem  15668
  Copyright terms: Public domain W3C validator