MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcbas Structured version   Unicode version

Theorem oppcbas 14775
Description: Base set of an opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcbas.1  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcbas.2  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
oppcbas  |-  B  =  ( Base `  O
)

Proof of Theorem oppcbas
Dummy variables  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
3 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
4 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
5 oppcbas.1 . . . . . 6  |-  O  =  (oppCat `  C )
62, 3, 4, 5oppcval 14770 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  O  =  ( ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C ) >. ) sSet  <.
(comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
76fveq2d 5802 . . . 4  |-  ( C  e.  _V  ->  ( Base `  O )  =  ( Base `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C ) >.
) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) ) )
8 baseid 14337 . . . . . 6  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
9 1re 9495 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
10 1nn 10443 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
11 4nn0 10708 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
12 1nn0 10705 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
13 1lt10 10642 . . . . . . . . 9  |-  1  <  10
1410, 11, 12, 13declti 10890 . . . . . . . 8  |-  1  < ; 1
4
159, 14ltneii 9597 . . . . . . 7  |-  1  =/= ; 1 4
16 basendx 14341 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ndx )  =  1
17 homndx 14471 . . . . . . . 8  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
1816, 17neeq12i 2740 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 4 )
1915, 18mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
208, 19setsnid 14333 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  ( C sSet  <.
( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C
) >. ) )
21 5nn 10592 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
22 4lt5 10604 . . . . . . . . . 10  |-  4  <  5
2312, 11, 21, 22declt 10886 . . . . . . . . 9  |- ; 1 4  < ; 1 5
24 4nn 10591 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
2512, 24decnncl 10878 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 4  e.  NN
2625nnrei 10441 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 4  e.  RR
2712, 21decnncl 10878 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 5  e.  NN
2827nnrei 10441 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 5  e.  RR
299, 26, 28lttri 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  < ; 1 4  /\ ; 1 4  < ; 1 5 )  -> 
1  < ; 1 5 )
3014, 23, 29mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  1  < ; 1
5
319, 30ltneii 9597 . . . . . . 7  |-  1  =/= ; 1 5
32 ccondx 14473 . . . . . . . 8  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
3316, 32neeq12i 2740 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  <->  1  =/= ; 1 5 )
3431, 33mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( Base `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
358, 34setsnid 14333 . . . . 5  |-  ( Base `  ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C
) >. ) )  =  ( Base `  (
( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C ) >.
) sSet  <. (comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
3620, 35eqtri 2483 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  ( ( C sSet  <. ( Hom  `  ndx ) , tpos  ( Hom  `  C ) >. ) sSet  <.
(comp `  ndx ) ,  ( u  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) ,  z  e.  ( Base `  C )  |-> tpos  ( <.
z ,  ( 2nd `  u ) >. (comp `  C ) ( 1st `  u ) ) )
>. ) )
377, 36syl6reqr 2514 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  O
) )
38 base0 14330 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
39 fvprc 5792 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (
Base `  C )  =  (/) )
40 fvprc 5792 . . . . . 6  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (oppCat `  C )  =  (/) )
415, 40syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  O  =  (/) )
4241fveq2d 5802 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (
Base `  O )  =  ( Base `  (/) ) )
4338, 39, 423eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  (
Base `  C )  =  ( Base `  O
) )
4437, 43pm2.61i 164 . 2  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
451, 44eqtri 2483 1  |-  B  =  ( Base `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   _Vcvv 3076   (/)c0 3744   <.cop 3990   class class class wbr 4399    X. cxp 4945   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    |-> cmpt2 6201   1stc1st 6684   2ndc2nd 6685  tpos ctpos 6853   1c1 9393    < clt 9528   4c4 10483   5c5 10484  ;cdc 10865   ndxcnx 14288   sSet csts 14289   Basecbs 14291   Hom chom 14367  compcco 14368  oppCatcoppc 14768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-hom 14380  df-cco 14381  df-oppc 14769
This theorem is referenced by:  oppccatid  14776  oppchomf  14777  2oppcbas  14780  2oppccomf  14782  oppccomfpropd  14784  isepi  14797  epii  14800  oppcsect  14830  oppcsect2  14831  oppcinv  14832  oppciso  14833  sectepi  14836  episect  14837  funcoppc  14903  fulloppc  14950  fthoppc  14951  fthepi  14956  hofcl  15187  yon11  15192  yon12  15193  yon2  15194  oyon1cl  15199  yonedalem21  15201  yonedalem3a  15202  yonedalem4c  15205  yonedalem22  15206  yonedalem3b  15207  yonedalem3  15208  yonedainv  15209  yonffthlem  15210
  Copyright terms: Public domain W3C validator