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Theorem oposlem 32717
Description: Lemma for orthoposet properties. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oposlem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oposlem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
oposlem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
oposlem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oposlem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oposlem.f  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
oposlem.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
oposlem  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X  .<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X )
) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  .1. 
/\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X )
)  =  .0.  )
)

Proof of Theorem oposlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oposlem.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
4 oposlem.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 oposlem.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
6 oposlem.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 oposlem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
8 oposlem.f . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
9 oposlem.u . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isopos 32715 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  <->  ( ( K  e.  Poset  /\  B  e.  dom  ( lub `  K
)  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( (  ._|_  `  x
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  /\  ( x 
.<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x ) ) )  /\  ( x  .\/  (  ._|_  `  x )
)  =  .1.  /\  ( x  ./\  (  ._|_  `  x ) )  =  .0.  ) ) )
1110simprbi 465 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
(  ._|_  `  x )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x  /\  ( x  .<_  y  ->  (  ._|_  `  y
)  .<_  (  ._|_  `  x
) ) )  /\  ( x  .\/  (  ._|_  `  x ) )  =  .1.  /\  ( x 
./\  (  ._|_  `  x
) )  =  .0.  ) )
12 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  X ) )
1312eleq1d 2491 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  x )  e.  B  <->  (  ._|_  `  X
)  e.  B ) )
1412fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
15 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
1614, 15eqeq12d 2444 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X ) )
17 breq1 4426 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  y  <->  X  .<_  y ) )
1812breq2d 4435 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x )  <-> 
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
1917, 18imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<_  y  -> 
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x ) )  <->  ( X  .<_  y  ->  (  ._|_  `  y
)  .<_  (  ._|_  `  X
) ) ) )
2013, 16, 193anbi123d 1335 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( (  ._|_  `  x
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  /\  ( x 
.<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x ) ) )  <-> 
( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X 
.<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
2115, 12oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .\/  (  ._|_  `  x ) )  =  ( X  .\/  (  ._|_  `  X ) ) )
2221eqeq1d 2424 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .\/  (  ._|_  `  x ) )  =  .1.  <->  ( X  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  .1.  ) )
2315, 12oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  ./\  (  ._|_  `  x ) )  =  ( X  ./\  (  ._|_  `  X ) ) )
2423eqeq1d 2424 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  ./\  (  ._|_  `  x ) )  =  .0.  <->  ( X  ./\  (  ._|_  `  X ) )  =  .0.  )
)
2520, 22, 243anbi123d 1335 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( (  ._|_  `  x )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  /\  (
x  .<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x )
) )  /\  (
x  .\/  (  ._|_  `  x ) )  =  .1.  /\  ( x 
./\  (  ._|_  `  x
) )  =  .0.  )  <->  ( ( ( 
._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X  .<_  y  -> 
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  .1. 
/\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X )
)  =  .0.  )
) )
26 breq2 4427 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .<_  y  <->  X  .<_  Y ) )
27 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  y )  =  (  ._|_  `  Y ) )
2827breq1d 4433 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X )  <-> 
(  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
2926, 28imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<_  y  -> 
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X ) )  <->  ( X  .<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  X
) ) ) )
30293anbi3d 1341 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X 
.<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )  <-> 
( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X 
.<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
31303anbi1d 1339 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X  .<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X )
) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  .1. 
/\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X )
)  =  .0.  )  <->  ( ( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X 
.<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X )
)  =  .1.  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X ) )  =  .0.  ) ) )
3225, 31rspc2v 3191 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ( 
._|_  `  x )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  /\  ( x  .<_  y  -> 
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x ) ) )  /\  (
x  .\/  (  ._|_  `  x ) )  =  .1.  /\  ( x 
./\  (  ._|_  `  x
) )  =  .0.  )  ->  ( (
(  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  X  /\  ( X  .<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  X
) ) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X ) )  =  .1.  /\  ( X 
./\  (  ._|_  `  X
) )  =  .0.  ) ) )
3311, 32mpan9 471 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X 
.<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X )
)  =  .1.  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X ) )  =  .0.  ) )
34333impb 1201 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X  .<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X )
) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  .1. 
/\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X )
)  =  .0.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   class class class wbr 4423   dom cdm 4853   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   lecple 15196   occoc 15197   Posetcpo 16184   lubclub 16186   glbcglb 16187   joincjn 16188   meetcmee 16189   0.cp0 16282   1.cp1 16283   OPcops 32707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-nul 4555
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-dm 4863  df-iota 5565  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oposet 32711
This theorem is referenced by:  opoccl  32729  opococ  32730  oplecon3  32734  opexmid  32742  opnoncon  32743
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