Theorem opoccl 32839

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 24709 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	|- B = ( Base ` K )
opoccl.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
opoccl	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2443	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
3		opoccl.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( oc ` K )
4		eqid 2443	. . . . 5 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
5		eqid 2443	. . . . 5 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
6		eqid 2443	. . . . 5 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
7		eqid 2443	. . . . 5 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 32827	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) /\ ( X ( join ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 1. ` K ) /\ ( X ( meet ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 0. ` K ) ) )
9	8	3anidm23 1277	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) /\ ( X ( join ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 1. ` K ) /\ ( X ( meet ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 0. ` K ) ) )
10	9	simp1d 1000	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
11	10	simp1d 1000	1 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   lecple 14245   occoc 14246   joincjn 15114   meetcmee 15115   0.cp0 15207   1.cp1 15208   OPcops 32817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4421

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oposet 32821

This theorem is referenced by:  opcon2b  32842  oplecon3b  32845  oplecon1b  32846  opoc1  32847  opltcon3b  32849  opltcon1b  32850  opltcon2b  32851  riotaocN  32854  oldmm1  32862  oldmm2  32863  oldmm3N  32864  oldmm4  32865  oldmj1  32866  oldmj2  32867  oldmj3  32868  oldmj4  32869  olm11  32872  latmassOLD  32874  omllaw2N  32889  omllaw4  32891  cmtcomlemN  32893  cmt2N  32895  cmt3N  32896  cmt4N  32897  cmtbr2N  32898  cmtbr3N  32899  cmtbr4N  32900  lecmtN  32901  omlfh1N  32903  omlfh3N  32904  omlspjN  32906  cvrcon3b  32922  cvrcmp2  32929  atlatmstc  32964  glbconN  33021  glbconxN  33022  cvrexch  33064  1cvrco  33116  1cvratex  33117  1cvrjat  33119  polval2N  33550  polsubN  33551  2polpmapN  33557  2polvalN  33558  poldmj1N  33572  pmapj2N  33573  polatN  33575  2polatN  33576  pnonsingN  33577  ispsubcl2N  33591  polsubclN  33596  poml4N  33597  pmapojoinN  33612  pl42lem1N  33623  lhpoc2N  33659  lhpocnle  33660  lhpmod2i2  33682  lhpmod6i1  33683  lhprelat3N  33684  trlcl  33808  trlle  33828  docaclN  34769  doca2N  34771  djajN  34782  dih1  34931  dih1dimatlem  34974  dochcl  34998  dochvalr3  35008  doch2val2  35009  dochss  35010  dochocss  35011  dochoc  35012  dochnoncon  35036  djhlj  35046