Theorem opoccl 32760

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 26959 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	|- B = ( Base ` K )
opoccl.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
opoccl	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2451	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
3		opoccl.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( oc ` K )
4		eqid 2451	. . . . 5 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
5		eqid 2451	. . . . 5 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
6		eqid 2451	. . . . 5 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
7		eqid 2451	. . . . 5 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 32748	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) /\ ( X ( join ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 1. ` K ) /\ ( X ( meet ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 0. ` K ) ) )
9	8	3anidm23 1327	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) /\ ( X ( join ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 1. ` K ) /\ ( X ( meet ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 0. ` K ) ) )
10	9	simp1d 1020	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
11	10	simp1d 1020	1 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   lecple 15197   occoc 15198   joincjn 16189   meetcmee 16190   0.cp0 16283   1.cp1 16284   OPcops 32738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-nul 4534

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oposet 32742

This theorem is referenced by:  opcon2b  32763  oplecon3b  32766  oplecon1b  32767  opoc1  32768  opltcon3b  32770  opltcon1b  32771  opltcon2b  32772  riotaocN  32775  oldmm1  32783  oldmm2  32784  oldmm3N  32785  oldmm4  32786  oldmj1  32787  oldmj2  32788  oldmj3  32789  oldmj4  32790  olm11  32793  latmassOLD  32795  omllaw2N  32810  omllaw4  32812  cmtcomlemN  32814  cmt2N  32816  cmt3N  32817  cmt4N  32818  cmtbr2N  32819  cmtbr3N  32820  cmtbr4N  32821  lecmtN  32822  omlfh1N  32824  omlfh3N  32825  omlspjN  32827  cvrcon3b  32843  cvrcmp2  32850  atlatmstc  32885  glbconN  32942  glbconxN  32943  cvrexch  32985  1cvrco  33037  1cvratex  33038  1cvrjat  33040  polval2N  33471  polsubN  33472  2polpmapN  33478  2polvalN  33479  poldmj1N  33493  pmapj2N  33494  polatN  33496  2polatN  33497  pnonsingN  33498  ispsubcl2N  33512  polsubclN  33517  poml4N  33518  pmapojoinN  33533  pl42lem1N  33544  lhpoc2N  33580  lhpocnle  33581  lhpmod2i2  33603  lhpmod6i1  33604  lhprelat3N  33605  trlcl  33730  trlle  33750  docaclN  34692  doca2N  34694  djajN  34705  dih1  34854  dih1dimatlem  34897  dochcl  34921  dochvalr3  34931  doch2val2  34932  dochss  34933  dochocss  34934  dochoc  34935  dochnoncon  34959  djhlj  34969