Theorem opoccl 34000

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 25916 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	|- B = ( Base ` K )
opoccl.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
opoccl	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2467	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
3		opoccl.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( oc ` K )
4		eqid 2467	. . . . 5 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
5		eqid 2467	. . . . 5 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
6		eqid 2467	. . . . 5 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
7		eqid 2467	. . . . 5 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 33988	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) /\ ( X ( join ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 1. ` K ) /\ ( X ( meet ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 0. ` K ) ) )
9	8	3anidm23 1287	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) /\ ( X ( join ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 1. ` K ) /\ ( X ( meet ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 0. ` K ) ) )
10	9	simp1d 1008	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
11	10	simp1d 1008	1 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   lecple 14561   occoc 14562   joincjn 15430   meetcmee 15431   0.cp0 15523   1.cp1 15524   OPcops 33978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-dm 5009  df-iota 5550  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oposet 33982

This theorem is referenced by:  opcon2b  34003  oplecon3b  34006  oplecon1b  34007  opoc1  34008  opltcon3b  34010  opltcon1b  34011  opltcon2b  34012  riotaocN  34015  oldmm1  34023  oldmm2  34024  oldmm3N  34025  oldmm4  34026  oldmj1  34027  oldmj2  34028  oldmj3  34029  oldmj4  34030  olm11  34033  latmassOLD  34035  omllaw2N  34050  omllaw4  34052  cmtcomlemN  34054  cmt2N  34056  cmt3N  34057  cmt4N  34058  cmtbr2N  34059  cmtbr3N  34060  cmtbr4N  34061  lecmtN  34062  omlfh1N  34064  omlfh3N  34065  omlspjN  34067  cvrcon3b  34083  cvrcmp2  34090  atlatmstc  34125  glbconN  34182  glbconxN  34183  cvrexch  34225  1cvrco  34277  1cvratex  34278  1cvrjat  34280  polval2N  34711  polsubN  34712  2polpmapN  34718  2polvalN  34719  poldmj1N  34733  pmapj2N  34734  polatN  34736  2polatN  34737  pnonsingN  34738  ispsubcl2N  34752  polsubclN  34757  poml4N  34758  pmapojoinN  34773  pl42lem1N  34784  lhpoc2N  34820  lhpocnle  34821  lhpmod2i2  34843  lhpmod6i1  34844  lhprelat3N  34845  trlcl  34969  trlle  34989  docaclN  35930  doca2N  35932  djajN  35943  dih1  36092  dih1dimatlem  36135  dochcl  36159  dochvalr3  36169  doch2val2  36170  dochss  36171  dochocss  36172  dochoc  36173  dochnoncon  36197  djhlj  36207