Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opoc1 Structured version   Unicode version

Theorem opoc1 32521
Description: Orthocomplement of orthoposet unit. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opoc1.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
opoc1.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
opoc1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opoc1  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem opoc1
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 opoc1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
31, 2op0cl 32503 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
4 opoc1.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
51, 4opoccl 32513 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .0.  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  .0.  )  e.  ( Base `  K
) )
63, 5mpdan 672 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .0.  )  e.  ( Base `  K
) )
7 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
8 opoc1.u . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
91, 7, 8ople1 32510 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  ._|_  `  .0.  )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  .0.  ) ( le `  K )  .1.  )
106, 9mpdan 672 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .0.  ) ( le `  K )  .1.  )
111, 8op1cl 32504 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
121, 7, 4oplecon1b 32520 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  .0.  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (  ._|_  `  .1.  ) ( le `  K )  .0.  <->  (  ._|_  `  .0.  ) ( le `  K )  .1.  )
)
1311, 3, 12mpd3an23 1362 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  (
(  ._|_  `  .1.  )
( le `  K
)  .0.  <->  (  ._|_  `  .0.  ) ( le
`  K )  .1.  ) )
1410, 13mpbird 235 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  ) ( le `  K )  .0.  )
151, 4opoccl 32513 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  .1.  )  e.  ( Base `  K
) )
1611, 15mpdan 672 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  e.  ( Base `  K
) )
171, 7, 2ople0 32506 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  ._|_  `  .1.  )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
(  ._|_  `  .1.  )
( le `  K
)  .0.  <->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  ) )
1816, 17mpdan 672 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
(  ._|_  `  .1.  )
( le `  K
)  .0.  <->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  ) )
1914, 18mpbid 213 1  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   Basecbs 15081   lecple 15157   occoc 15158   0.cp0 16235   1.cp1 16236   OPcops 32491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-preset 16125  df-poset 16143  df-lub 16172  df-glb 16173  df-p0 16237  df-p1 16238  df-oposet 32495
This theorem is referenced by:  opoc0  32522  olm11  32546  1cvrco  32790  1cvrjat  32793  pol1N  33228  doch1  34680
  Copyright terms: Public domain W3C validator