Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opoc0 Structured version   Unicode version

Theorem opoc0 32522
Description: Orthocomplement of orthoposet zero. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opoc1.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
opoc1.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
opoc1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opoc0  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )

Proof of Theorem opoc0
StepHypRef Expression
1 opoc1.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2 opoc1.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
3 opoc1.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
41, 2, 3opoc1 32521 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  )
5 eqid 2420 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
65, 2op1cl 32504 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
75, 1op0cl 32503 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
85, 3opcon1b 32517 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  .0.  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  <->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )
)
96, 7, 8mpd3an23 1362 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
(  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  <->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )
)
104, 9mpbid 213 1  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1867   ` cfv 5592   Basecbs 15081   occoc 15158   0.cp0 16235   1.cp1 16236   OPcops 32491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-preset 16125  df-poset 16143  df-lub 16172  df-glb 16173  df-p0 16237  df-p1 16238  df-oposet 32495
This theorem is referenced by:  1cvrjat  32793  doch0  34679
  Copyright terms: Public domain W3C validator