Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem opnvonmbllem1 38572
Description: The half-open interval expressed using a composition of a function (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem1.i  |-  F/ i
ph
opnvonmbllem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
opnvonmbllem1.c  |-  ( ph  ->  C : X --> QQ )
opnvonmbllem1.d  |-  ( ph  ->  D : X --> QQ )
opnvonmbllem1.s  |-  ( ph  -> 
X_ i  e.  X  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i )
)  C_  B )
opnvonmbllem1.g  |-  ( ph  ->  B  C_  G )
opnvonmbllem1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X_ i  e.  X  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i
) ) )
opnvonmbllem1.k  |-  K  =  { h  e.  ( ( QQ  X.  QQ )  ^m  X )  | 
X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  h ) `  i
)  C_  G }
opnvonmbllem1.h  |-  H  =  ( i  e.  X  |-> 
<. ( C `  i
) ,  ( D `
 i ) >.
)
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem1  |-  ( ph  ->  E. h  e.  K  Y  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  h ) `  i ) )
Distinct variable groups:    h, G    h, H    h, X, i   
h, Y
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    B( h, i)    C( h, i)    D( h, i)    G( i)    H( i)    K( h, i)    V( h, i)    Y( i)

Proof of Theorem opnvonmbllem1
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem1.i . . . . . 6  |-  F/ i
ph
2 opnvonmbllem1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C : X --> QQ )
32ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  ( C `  i )  e.  QQ )
4 opnvonmbllem1.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D : X --> QQ )
54ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  ( D `  i )  e.  QQ )
6 opelxpi 4871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  QQ  /\  ( D `  i )  e.  QQ )  ->  <. ( C `  i
) ,  ( D `
 i ) >.  e.  ( QQ  X.  QQ ) )
73, 5, 6syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  <. ( C `  i ) ,  ( D `  i ) >.  e.  ( QQ  X.  QQ ) )
8 opnvonmbllem1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( i  e.  X  |-> 
<. ( C `  i
) ,  ( D `
 i ) >.
)
91, 7, 8fmptdf 6063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : X --> ( QQ 
X.  QQ ) )
10 qex 11299 . . . . . . . . 9  |-  QQ  e.  _V
1110, 10xpex 6614 . . . . . . . 8  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
_V
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( QQ  X.  QQ )  e.  _V )
13 opnvonmbllem1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1412, 13jca 541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  _V  /\  X  e.  V ) )
15 elmapg 7503 . . . . . 6  |-  ( ( ( QQ  X.  QQ )  e.  _V  /\  X  e.  V )  ->  ( H  e.  ( ( QQ  X.  QQ )  ^m  X )  <->  H : X
--> ( QQ  X.  QQ ) ) )
1614, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( ( QQ  X.  QQ )  ^m  X )  <->  H : X
--> ( QQ  X.  QQ ) ) )
179, 16mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( QQ  X.  QQ )  ^m  X ) )
181, 8hoi2toco 38547 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  H ) `  i
)  =  X_ i  e.  X  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i
) ) )
19 opnvonmbllem1.s . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
X_ i  e.  X  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i )
)  C_  B )
20 opnvonmbllem1.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  G )
2119, 20sstrd 3428 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ i  e.  X  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i )
)  C_  G )
2218, 21eqsstrd 3452 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  H ) `  i
)  C_  G )
2317, 22jca 541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( ( QQ  X.  QQ )  ^m  X )  /\  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  H
) `  i )  C_  G ) )
24 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ i
h
25 nfmpt1 4485 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( i  e.  X  |-> 
<. ( C `  i
) ,  ( D `
 i ) >.
)
268, 25nfcxfr 2610 . . . . . . 7  |-  F/_ i H
2724, 26nfeq 2623 . . . . . 6  |-  F/ i  h  =  H
28 coeq2 4998 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  ( [,)  o.  h )  =  ( [,)  o.  H
) )
2928fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( [,)  o.  h
) `  i )  =  ( ( [,) 
o.  H ) `  i ) )
3029adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( h  =  H  /\  i  e.  X )  ->  ( ( [,)  o.  h ) `  i
)  =  ( ( [,)  o.  H ) `
 i ) )
3127, 30ixpeq2d 37469 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  h ) `  i )  =  X_ i  e.  X  (
( [,)  o.  H
) `  i )
)
3231sseq1d 3445 . . . 4  |-  ( h  =  H  ->  ( X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  h
) `  i )  C_  G  <->  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  H ) `  i
)  C_  G )
)
33 opnvonmbllem1.k . . . 4  |-  K  =  { h  e.  ( ( QQ  X.  QQ )  ^m  X )  | 
X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  h ) `  i
)  C_  G }
3432, 33elrab2 3186 . . 3  |-  ( H  e.  K  <->  ( H  e.  ( ( QQ  X.  QQ )  ^m  X )  /\  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  H ) `  i
)  C_  G )
)
3523, 34sylibr 217 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  K )
36 opnvonmbllem1.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  X_ i  e.  X  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i
) ) )
3736, 18eleqtrrd 2552 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  H ) `  i ) )
38 nfv 1769 . . 3  |-  F/ h  Y  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  H ) `  i )
39 nfcv 2612 . . 3  |-  F/_ h H
40 nfrab1 2957 . . . 4  |-  F/_ h { h  e.  (
( QQ  X.  QQ )  ^m  X )  | 
X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  h ) `  i
)  C_  G }
4133, 40nfcxfr 2610 . . 3  |-  F/_ h K
4231eleq2d 2534 . . 3  |-  ( h  =  H  ->  ( Y  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  h ) `  i )  <->  Y  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  H
) `  i )
) )
4338, 39, 41, 42rspcef 37475 . 2  |-  ( ( H  e.  K  /\  Y  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  H ) `  i ) )  ->  E. h  e.  K  Y  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  h ) `  i ) )
4435, 37, 43syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  E. h  e.  K  Y  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  h ) `  i ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   <.cop 3965    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   QQcq 11287   [,)cico 11662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-z 10962  df-q 11288
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  38573
  Copyright terms: Public domain W3C validator