Theorem opnuni 9145

Description: The union of a collection of open sets of a metric space is open. Theorem T2 of [Kreyszig] p. 19.

Hypothesis

Ref	Expression
opni.1	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
opnuni	|- ((D e. Met /\ A C_ J) -> U.A e. J)

Proof of Theorem opnuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2623	. . . . . 6 |- (A C_ J -> (J C_ ~Pdom dom D -> A C_ ~Pdom dom D))
2		eqid 1884	. . . . . . 7 |- dom dom D = dom dom D
3		opni.1	. . . . . . 7 |- J = (Open` D)
4	2, 3	opnfss 9135	. . . . . 6 |- (D e. Met -> J C_ ~Pdom dom D)
5	1, 4	syl5com 63	. . . . 5 |- (D e. Met -> (A C_ J -> A C_ ~Pdom dom D))
6		uniss 3199	. . . . . 6 |- (A C_ ~Pdom dom D -> U.A C_ U.~Pdom dom D)
7		unipw 3504	. . . . . 6 |- U.~Pdom dom D = dom dom D
8	6, 7	syl6ss 2663	. . . . 5 |- (A C_ ~Pdom dom D -> U.A C_ dom dom D)
9	5, 8	syl6 25	. . . 4 |- (D e. Met -> (A C_ J -> U.A C_ dom dom D))
10		simpll 448	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ A C_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> D e. Met)
11		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A C_ J /\ u e. A) -> u e. J)
12	11	ad2ant2lr 446	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ A C_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> u e. J)
13		simprr 451	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ A C_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> w e. u)
14	3	opni 9141	. . . . . . . . . . 11 |- ((D e. Met /\ u e. J /\ w e. u) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ u))
15	10, 12, 13, 14	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ A C_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ u))
16		ssuni 3201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v C_ u /\ u e. A) -> v C_ U.A)
17	16	expcom 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u e. A -> (v C_ u -> v C_ U.A))
18	17	anim2d 620	. . . . . . . . . . . 12 |- (u e. A -> ((w e. v /\ v C_ u) -> (w e. v /\ v C_ U.A)))
19	18	reximdv 2202	. . . . . . . . . . 11 |- (u e. A -> (E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ u) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ U.A)))
20	19	ad2antrl 442	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ A C_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> (E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ u) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ U.A)))
21	15, 20	mpd 29	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ A C_ J) /\ (u e. A /\ w e. u)) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ U.A))
22	21	exp32 408	. . . . . . . 8 |- ((D e. Met /\ A C_ J) -> (u e. A -> (w e. u -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ U.A))))
23	22	r19.23adv 2215	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ A C_ J) -> (E.u e. A w e. u -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ U.A)))
24		eluni2 3181	. . . . . . 7 |- (w e. U.A <-> E.u e. A w e. u)
25	23, 24	syl5ib 223	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ A C_ J) -> (w e. U.A -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ U.A)))
26	25	ex 402	. . . . 5 |- (D e. Met -> (A C_ J -> (w e. U.A -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ U.A))))
27	26	r19.21adv 2181	. . . 4 |- (D e. Met -> (A C_ J -> A.w e. U.AE.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ U.A)))
28	9, 27	jcad 661	. . 3 |- (D e. Met -> (A C_ J -> (U.A C_ dom dom D /\ A.w e. U.AE.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ U.A))))
29	2, 3	isopn 9136	. . 3 |- (D e. Met -> (U.A e. J <-> (U.A C_ dom dom D /\ A.w e. U.AE.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v C_ U.A))))
30	28, 29	sylibrd 221	. 2 |- (D e. Met -> (A C_ J -> U.A e. J))
31	30	imp 377	1 |- ((D e. Met /\ A C_ J) -> U.A e. J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  dom cdm 3986  ran crn 3987  ` cfv 3998  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  opntop 9147

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain