Theorem opntop 7955

Description: The set of open sets of a metric space is a topology. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces.

Hypothesis

Ref	Expression
opni.1	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
opntop	|- (D e. Met -> J e. Top)

Proof of Theorem opntop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opni.1	. . . . . 6 |- J = (Open` D)
2	1	opnuni 7953	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ w (_ J) -> U.w e. J)
3	2	ex 380	. . . 4 |- (D e. Met -> (w (_ J -> U.w e. J))
4	3	19.21aiv 1328	. . 3 |- (D e. Met -> A.w(w (_ J -> U.w e. J))
5	1	opnin 7954	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ w e. J /\ v e. J) -> (w i^i v) e. J)
6	5	3expib 848	. . . 4 |- (D e. Met -> ((w e. J /\ v e. J) -> (w i^i v) e. J))
7	6	r19.21aivv 1767	. . 3 |- (D e. Met -> A.w e. J A.v e. J (w i^i v) e. J)
8	4, 7	jca 295	. 2 |- (D e. Met -> (A.w(w (_ J -> U.w e. J) /\ A.w e. J A.v e. J (w i^i v) e. J))
9		fvex 3789	. . . 4 |- (Open` D) e. V
10	1, 9	eqeltri 1591	. . 3 |- J e. V
11		istopg 7688	. . 3 |- (J e. V -> (J e. Top <-> (A.w(w (_ J -> U.w e. J) /\ A.w e. J A.v e. J (w i^i v) e. J)))
12	10, 11	ax-mp 7	. 2 |- (J e. Top <-> (A.w(w (_ J -> U.w e. J) /\ A.w e. J A.v e. J (w i^i v) e. J))
13	8, 12	sylibr 207	1 |- (D e. Met -> J e. Top)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230  A.wal 995   = wceq 997   e. wcel 999  A.wral 1692  Vcvv 1858   i^i cin 2097   (_ wss 2098  U.cuni 2557  ` cfv 3239  Topctop 7680  Metcme 7874  Opencopn 7877

This theorem is referenced by:  tgbl 7956  blbas 7957  opn0 7958  neibl 7962  lpbl 7965  methausi 7966  metcnpf 7968  metcnf 7969  metcnconst 7970  metcnp 7972  metcn 7974  metcnco 7982  metidcn 7985  metdnsconst 7986  metelcls 8050  metcld 8052  metcn4 8056  cmsss 8082  bcthlem6 8089  blocni 8549  ubthlem6 8618

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-top 7684  df-met 7878  df-bl 7880  df-opn 7881

Copyright terms: Public domain