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Theorem opnsubg 20775
Description: An open subgroup of a topological group is also closed. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
opnsubg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)

Proof of Theorem opnsubg
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21subgss 16404 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
323ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
4 subgntr.h . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
54, 1tgptopon 20750 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
653ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
7 toponuni 19598 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( Base `  G )  =  U. J )
93, 8sseqtrd 3525 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  U. J
)
108difeq1d 3607 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( Base `  G )  \  S )  =  ( U. J  \  S
) )
11 df-ima 5001 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  =  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  |`  S )
123adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1312resmptd 5313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
1413rneqd 5219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
1511, 14syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
16 simpl1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  G  e.  TopGrp )
17 eldifi 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( Base `  G )  \  S
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
1817adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
19 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
20 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2119, 1, 20, 4tgplacthmeo 20771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( J Homeo J ) )
2216, 18, 21syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J Homeo J ) )
23 simpl3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  e.  J )
24 hmeoima 20435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J
Homeo J )  /\  S  e.  J )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) " S )  e.  J )
2522, 23, 24syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  e.  J )
2615, 25eqeltrrd 2543 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  J )
27 tgpgrp 20746 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2816, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  G  e.  Grp )
29 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
301, 20, 29grprid 16283 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  x )
3128, 18, 30syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  =  x )
32 simpl2 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3329subg0cl 16411 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
3432, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
35 ovex 6298 . . . . . . . 8  |-  ( x ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  e. 
_V
36 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
37 oveq2 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) ) )
3836, 37elrnmpt1s 5239 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  S  /\  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  _V )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
3934, 35, 38sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
4031, 39eqeltrrd 2543 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
4128adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
4218adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
4312sselda 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
441, 20grpcl 16265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
4541, 42, 43, 44syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
46 eldifn 3613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Base `  G )  \  S
)  ->  -.  x  e.  S )
4746ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  -.  x  e.  S )
48 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
4948subgsubcl 16414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S )
50493com23 1200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S  /\  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S )
51503expia 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S ) )
5232, 51sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S ) )
531, 20, 48grppncan 16331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  =  x )
5441, 42, 43, 53syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  =  x )
5554eleq1d 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) y )  e.  S  <->  x  e.  S ) )
5652, 55sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  x  e.  S ) )
5747, 56mtod 177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  -.  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )
5845, 57eldifd 3472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)
5958, 36fmptd 6031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : S --> ( (
Base `  G )  \  S ) )
60 frn 5719 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : S --> ( (
Base `  G )  \  S )  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) )
6159, 60syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  ( ( Base `  G )  \  S
) )
62 eleq2 2527 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) ) )
63 sseq1 3510 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )  <->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) ) )
6462, 63anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  <->  ( x  e. 
ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) ) ) )
6564rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  J  /\  ( x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  /\  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  ( ( Base `  G )  \  S
) ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) )
6626, 40, 61, 65syl12anc 1224 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
) )
6766ralrimiva 2868 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  A. x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) )
68 topontop 19597 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
696, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  Top )
70 eltop2 19647 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( Base `  G
)  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) ) )
7169, 70syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( (
( Base `  G )  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( (
Base `  G )  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
) ) )
7267, 71mpbird 232 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( Base `  G )  \  S )  e.  J
)
7310, 72eqeltrrd 2543 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
74 eqid 2454 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
7574iscld 19698 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_ 
U. J  /\  ( U. J  \  S )  e.  J ) ) )
7669, 75syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( S  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  e.  J ) ) )
779, 73, 76mpbir2and 920 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   TopOpenctopn 14914   0gc0g 14932   Grpcgrp 16255   -gcsg 16257  SubGrpcsubg 16397   Topctop 19564  TopOnctopon 19565   Clsdccld 19687   Homeochmeo 20423   TopGrpctgp 20739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-topgen 14936  df-plusf 16073  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-subg 16400  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-tmd 20740  df-tgp 20741
This theorem is referenced by:  cldsubg  20778  tgpconcompss  20781
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