Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnsubg Structured version   Unicode version

Theorem opnsubg 21053
 Description: An open subgroup of a topological group is also closed. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h
Assertion
Ref Expression
opnsubg SubGrp

Proof of Theorem opnsubg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . 5
21subgss 16769 . . . 4 SubGrp
323ad2ant2 1027 . . 3 SubGrp
4 subgntr.h . . . . . 6
54, 1tgptopon 21028 . . . . 5 TopOn
653ad2ant1 1026 . . . 4 SubGrp TopOn
7 toponuni 19873 . . . 4 TopOn
86, 7syl 17 . . 3 SubGrp
93, 8sseqtrd 3506 . 2 SubGrp
108difeq1d 3588 . . 3 SubGrp
11 df-ima 4867 . . . . . . . 8
123adantr 466 . . . . . . . . . 10 SubGrp
1312resmptd 5176 . . . . . . . . 9 SubGrp
1413rneqd 5082 . . . . . . . 8 SubGrp
1511, 14syl5eq 2482 . . . . . . 7 SubGrp
16 simpl1 1008 . . . . . . . . 9 SubGrp
17 eldifi 3593 . . . . . . . . . 10
1817adantl 467 . . . . . . . . 9 SubGrp
19 eqid 2429 . . . . . . . . . 10
20 eqid 2429 . . . . . . . . . 10
2119, 1, 20, 4tgplacthmeo 21049 . . . . . . . . 9
2216, 18, 21syl2anc 665 . . . . . . . 8 SubGrp
23 simpl3 1010 . . . . . . . 8 SubGrp
24 hmeoima 20711 . . . . . . . 8
2522, 23, 24syl2anc 665 . . . . . . 7 SubGrp
2615, 25eqeltrrd 2518 . . . . . 6 SubGrp
27 tgpgrp 21024 . . . . . . . . 9
2816, 27syl 17 . . . . . . . 8 SubGrp
29 eqid 2429 . . . . . . . . 9
301, 20, 29grprid 16648 . . . . . . . 8
3128, 18, 30syl2anc 665 . . . . . . 7 SubGrp
32 simpl2 1009 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
3329subg0cl 16776 . . . . . . . . 9 SubGrp
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 SubGrp
35 ovex 6333 . . . . . . . 8
36 eqid 2429 . . . . . . . . 9
37 oveq2 6313 . . . . . . . . 9
3836, 37elrnmpt1s 5102 . . . . . . . 8
3934, 35, 38sylancl 666 . . . . . . 7 SubGrp
4031, 39eqeltrrd 2518 . . . . . 6 SubGrp
4128adantr 466 . . . . . . . . . 10 SubGrp
4218adantr 466 . . . . . . . . . 10 SubGrp
4312sselda 3470 . . . . . . . . . 10 SubGrp
441, 20grpcl 16630 . . . . . . . . . 10
4541, 42, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . 9 SubGrp
46 eldifn 3594 . . . . . . . . . . 11
4746ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10 SubGrp
48 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948subgsubcl 16779 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
50493com23 1211 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
51503expia 1207 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
5232, 51sylan 473 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
531, 20, 48grppncan 16696 . . . . . . . . . . . . 13
5441, 42, 43, 53syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
5554eleq1d 2498 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
5652, 55sylibd 217 . . . . . . . . . 10 SubGrp
5747, 56mtod 180 . . . . . . . . 9 SubGrp
5845, 57eldifd 3453 . . . . . . . 8 SubGrp
5958, 36fmptd 6061 . . . . . . 7 SubGrp
60 frn 5752 . . . . . . 7
6159, 60syl 17 . . . . . 6 SubGrp
62 eleq2 2502 . . . . . . . 8
63 sseq1 3491 . . . . . . . 8
6462, 63anbi12d 715 . . . . . . 7
6564rspcev 3188 . . . . . 6
6626, 40, 61, 65syl12anc 1262 . . . . 5 SubGrp
6766ralrimiva 2846 . . . 4 SubGrp
68 topontop 19872 . . . . . 6 TopOn
696, 68syl 17 . . . . 5 SubGrp
70 eltop2 19922 . . . . 5
7169, 70syl 17 . . . 4 SubGrp
7267, 71mpbird 235 . . 3 SubGrp
7310, 72eqeltrrd 2518 . 2 SubGrp
74 eqid 2429 . . . 4
7574iscld 19973 . . 3
7669, 75syl 17 . 2 SubGrp
779, 73, 76mpbir2and 930 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  wrex 2783  cvv 3087   cdif 3439   wss 3442  cuni 4222   cmpt 4484   crn 4855   cres 4856  cima 4857  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15084   cplusg 15152  ctopn 15279  c0g 15297  cgrp 16620  csg 16622  SubGrpcsubg 16762  ctop 19848  TopOnctopon 19849  ccld 19962  chmeo 20699  ctgp 21017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-topgen 15301  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-tmd 21018  df-tgp 21019 This theorem is referenced by:  cldsubg  21056  tgpconcompss  21059
 Copyright terms: Public domain W3C validator