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Theorem opnsubg 21053
Description: An open subgroup of a topological group is also closed. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
opnsubg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)

Proof of Theorem opnsubg
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21subgss 16769 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
323ad2ant2 1027 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
4 subgntr.h . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
54, 1tgptopon 21028 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
653ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
7 toponuni 19873 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( Base `  G )  =  U. J )
93, 8sseqtrd 3506 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  U. J
)
108difeq1d 3588 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( Base `  G )  \  S )  =  ( U. J  \  S
) )
11 df-ima 4867 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  =  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  |`  S )
123adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1312resmptd 5176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
1413rneqd 5082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
1511, 14syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
16 simpl1 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  G  e.  TopGrp )
17 eldifi 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( Base `  G )  \  S
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
1817adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
19 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
20 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2119, 1, 20, 4tgplacthmeo 21049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( J Homeo J ) )
2216, 18, 21syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J Homeo J ) )
23 simpl3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  e.  J )
24 hmeoima 20711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J
Homeo J )  /\  S  e.  J )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) " S )  e.  J )
2522, 23, 24syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  e.  J )
2615, 25eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  J )
27 tgpgrp 21024 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2816, 27syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  G  e.  Grp )
29 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
301, 20, 29grprid 16648 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  x )
3128, 18, 30syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  =  x )
32 simpl2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3329subg0cl 16776 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
35 ovex 6333 . . . . . . . 8  |-  ( x ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  e. 
_V
36 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
37 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) ) )
3836, 37elrnmpt1s 5102 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  S  /\  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  _V )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
3934, 35, 38sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
4031, 39eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
4128adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
4218adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
4312sselda 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
441, 20grpcl 16630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
4541, 42, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
46 eldifn 3594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Base `  G )  \  S
)  ->  -.  x  e.  S )
4746ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  -.  x  e.  S )
48 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
4948subgsubcl 16779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S )
50493com23 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S  /\  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S )
51503expia 1207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S ) )
5232, 51sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S ) )
531, 20, 48grppncan 16696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  =  x )
5441, 42, 43, 53syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  =  x )
5554eleq1d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) y )  e.  S  <->  x  e.  S ) )
5652, 55sylibd 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  x  e.  S ) )
5747, 56mtod 180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  -.  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )
5845, 57eldifd 3453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)
5958, 36fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : S --> ( (
Base `  G )  \  S ) )
60 frn 5752 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : S --> ( (
Base `  G )  \  S )  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) )
6159, 60syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  ( ( Base `  G )  \  S
) )
62 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) ) )
63 sseq1 3491 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )  <->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) ) )
6462, 63anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  <->  ( x  e. 
ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) ) ) )
6564rspcev 3188 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  J  /\  ( x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  /\  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  ( ( Base `  G )  \  S
) ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) )
6626, 40, 61, 65syl12anc 1262 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
) )
6766ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  A. x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) )
68 topontop 19872 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
696, 68syl 17 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  Top )
70 eltop2 19922 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( Base `  G
)  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) ) )
7169, 70syl 17 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( (
( Base `  G )  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( (
Base `  G )  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
) ) )
7267, 71mpbird 235 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( Base `  G )  \  S )  e.  J
)
7310, 72eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
74 eqid 2429 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
7574iscld 19973 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_ 
U. J  /\  ( U. J  \  S )  e.  J ) ) )
7669, 75syl 17 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( S  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  e.  J ) ) )
779, 73, 76mpbir2and 930 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    C_ wss 3442   U.cuni 4222    |-> cmpt 4484   ran crn 4855    |` cres 4856   "cima 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   TopOpenctopn 15279   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   -gcsg 16622  SubGrpcsubg 16762   Topctop 19848  TopOnctopon 19849   Clsdccld 19962   Homeochmeo 20699   TopGrpctgp 21017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-topgen 15301  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-tmd 21018  df-tgp 21019
This theorem is referenced by:  cldsubg  21056  tgpconcompss  21059
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