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Theorem opnsubg 20472
Description: An open subgroup of a topological group is also closed. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
opnsubg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)

Proof of Theorem opnsubg
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21subgss 16071 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
323ad2ant2 1017 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
4 subgntr.h . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
54, 1tgptopon 20447 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
653ad2ant1 1016 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
7 toponuni 19295 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( Base `  G )  =  U. J )
93, 8sseqtrd 3522 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  U. J
)
108difeq1d 3603 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( Base `  G )  \  S )  =  ( U. J  \  S
) )
11 df-ima 4998 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  =  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  |`  S )
123adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1312resmptd 5311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
1413rneqd 5216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
1511, 14syl5eq 2494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
16 simpl1 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  G  e.  TopGrp )
17 eldifi 3608 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( Base `  G )  \  S
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
1817adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
19 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
20 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2119, 1, 20, 4tgplacthmeo 20468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( J Homeo J ) )
2216, 18, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J Homeo J ) )
23 simpl3 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  e.  J )
24 hmeoima 20132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J
Homeo J )  /\  S  e.  J )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) " S )  e.  J )
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  e.  J )
2615, 25eqeltrrd 2530 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  J )
27 tgpgrp 20443 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2816, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  G  e.  Grp )
29 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
301, 20, 29grprid 15950 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  x )
3128, 18, 30syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  =  x )
32 simpl2 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3329subg0cl 16078 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
3432, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
35 ovex 6305 . . . . . . . 8  |-  ( x ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  e. 
_V
36 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
37 oveq2 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) ) )
3836, 37elrnmpt1s 5236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  S  /\  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  _V )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
3934, 35, 38sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
4031, 39eqeltrrd 2530 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
4128adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
4218adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
4312sselda 3486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
441, 20grpcl 15932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
4541, 42, 43, 44syl3anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
46 eldifn 3609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Base `  G )  \  S
)  ->  -.  x  e.  S )
4746ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  -.  x  e.  S )
48 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
4948subgsubcl 16081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S )
50493com23 1201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S  /\  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S )
51503expia 1197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S ) )
5232, 51sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S ) )
531, 20, 48grppncan 15998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  =  x )
5441, 42, 43, 53syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  =  x )
5554eleq1d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) y )  e.  S  <->  x  e.  S ) )
5652, 55sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  x  e.  S ) )
5747, 56mtod 177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  -.  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )
5845, 57eldifd 3469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)
5958, 36fmptd 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : S --> ( (
Base `  G )  \  S ) )
60 frn 5723 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : S --> ( (
Base `  G )  \  S )  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) )
6159, 60syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  ( ( Base `  G )  \  S
) )
62 eleq2 2514 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) ) )
63 sseq1 3507 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )  <->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) ) )
6462, 63anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  <->  ( x  e. 
ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) ) ) )
6564rspcev 3194 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  J  /\  ( x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  /\  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  ( ( Base `  G )  \  S
) ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) )
6626, 40, 61, 65syl12anc 1225 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
) )
6766ralrimiva 2855 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  A. x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) )
68 topontop 19294 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
696, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  Top )
70 eltop2 19343 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( Base `  G
)  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) ) )
7169, 70syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( (
( Base `  G )  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( (
Base `  G )  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
) ) )
7267, 71mpbird 232 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( Base `  G )  \  S )  e.  J
)
7310, 72eqeltrrd 2530 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
74 eqid 2441 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
7574iscld 19394 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_ 
U. J  /\  ( U. J  \  S )  e.  J ) ) )
7669, 75syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( S  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  e.  J ) ) )
779, 73, 76mpbir2and 920 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    \ cdif 3455    C_ wss 3458   U.cuni 4230    |-> cmpt 4491   ran crn 4986    |` cres 4987   "cima 4988   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   +g cplusg 14569   TopOpenctopn 14691   0gc0g 14709   Grpcgrp 15922   -gcsg 15924  SubGrpcsubg 16064   Topctop 19261  TopOnctopon 19262   Clsdccld 19383   Homeochmeo 20120   TopGrpctgp 20436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-topgen 14713  df-plusf 15740  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-subg 16067  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-tmd 20437  df-tgp 20438
This theorem is referenced by:  cldsubg  20475  tgpconcompss  20478
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