Theorem opnssneib 9005

Description: Any superset of an open set is a neighborhood of it.

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
opnssneib	|- ((J e. Top /\ S e. J /\ N C_ X) -> (S C_ N <-> N e. ((nei` J)` S)))

Proof of Theorem opnssneib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 449	. . . . . 6 |- (((S e. J /\ N C_ X) /\ S C_ N) -> N C_ X)
2		sseq2 2639	. . . . . . . . . 10 |- (g = S -> (S C_ g <-> S C_ S))
3		sseq1 2637	. . . . . . . . . 10 |- (g = S -> (g C_ N <-> S C_ N))
4	2, 3	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (g = S -> ((S C_ g /\ g C_ N) <-> (S C_ S /\ S C_ N)))
5		ssid 2634	. . . . . . . . . 10 |- S C_ S
6	5	biantrur 794	. . . . . . . . 9 |- (S C_ N <-> (S C_ S /\ S C_ N))
7	4, 6	syl6bbr 597	. . . . . . . 8 |- (g = S -> ((S C_ g /\ g C_ N) <-> S C_ N))
8	7	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- ((S e. J /\ S C_ N) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))
9	8	adantlr 429	. . . . . 6 |- (((S e. J /\ N C_ X) /\ S C_ N) -> E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))
10	1, 9	jca 310	. . . . 5 |- (((S e. J /\ N C_ X) /\ S C_ N) -> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N)))
11	10	ex 402	. . . 4 |- ((S e. J /\ N C_ X) -> (S C_ N -> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))))
12	11	3adant1 894	. . 3 |- ((J e. Top /\ S e. J /\ N C_ X) -> (S C_ N -> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))))
13		neips.1	. . . . . 6 |- X = U.J
14	13	eltopss 8872	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S e. J) -> S C_ X)
15	13	isnei 8994	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))))
16	14, 15	syldan 516	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S e. J) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))))
17	16	3adant3 896	. . 3 |- ((J e. Top /\ S e. J /\ N C_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> (N C_ X /\ E.g e. J (S C_ g /\ g C_ N))))
18	12, 17	sylibrd 221	. 2 |- ((J e. Top /\ S e. J /\ N C_ X) -> (S C_ N -> N e. ((nei` J)` S)))
19		ssnei 9000	. . . 4 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> S C_ N)
20	19	ex 402	. . 3 |- (J e. Top -> (N e. ((nei` J)` S) -> S C_ N))
21	20	3ad2ant1 897	. 2 |- ((J e. Top /\ S e. J /\ N C_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) -> S C_ N))
22	18, 21	impbid 574	1 |- ((J e. Top /\ S e. J /\ N C_ X) -> (S C_ N <-> N e. ((nei` J)` S)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988

This theorem is referenced by:  neissex 9014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-nei 8989

Copyright terms: Public domain