Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnrebl Structured version   Unicode version

Theorem opnrebl 28656
Description: A set is open in the standard topology of the reals precisely when every point can be enclosed in an open ball. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
opnrebl  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  RR+  ( ( x  -  y ) (,) (
x  +  y ) )  C_  A )
)
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem opnrebl
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
21rexmet 20493 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
41, 3tgioo 20498 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
54elmopn2 20145 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )  ->  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )
) )
62, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  C_  A ) )
7 ssel2 3452 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
8 rpre 11101 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
91bl2ioo 20494 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  =  ( ( x  -  y ) (,) (
x  +  y ) ) )
108, 9sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  =  ( ( x  -  y ) (,) (
x  +  y ) ) )
1110sseq1d 3484 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A  <->  ( (
x  -  y ) (,) ( x  +  y ) )  C_  A ) )
1211rexbidva 2852 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A  <->  E. y  e.  RR+  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) )  C_  A
) )
137, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A  <->  E. y  e.  RR+  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) )  C_  A
) )
1413ralbidva 2839 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  RR+  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) )  C_  A
) )
1514pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  RR+  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) )  C_  A ) )
166, 15bitri 249 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  RR+  ( ( x  -  y ) (,) (
x  +  y ) )  C_  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3429    X. cxp 4939   ran crn 4942    |` cres 4943    o. ccom 4945   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385    + caddc 9389    - cmin 9699   RR+crp 11095   (,)cioo 11404   abscabs 12834   topGenctg 14487   *Metcxmt 17919   ballcbl 17921   MetOpencmopn 17924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-topgen 14493  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-bases 18630
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator