Theorem opnneiss 9008

Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets.

Assertion

Ref	Expression
opnneiss	|- ((J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N) -> N e. ((nei` J)` S))

Proof of Theorem opnneiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 878	. 2 |- ((J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N) -> S C_ N)
2		eqid 1884	. . . 4 |- U.J = U.J
3	2	opnneissb 9004	. . 3 |- ((J e. Top /\ N e. J /\ S C_ U.J) -> (S C_ N <-> N e. ((nei` J)` S)))
4		sstr 2625	. . . . . 6 |- ((S C_ N /\ N C_ U.J) -> S C_ U.J)
5	4	ancoms 484	. . . . 5 |- ((N C_ U.J /\ S C_ N) -> S C_ U.J)
6	2	eltopss 8872	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ N e. J) -> N C_ U.J)
7	5, 6	sylan 497	. . . 4 |- (((J e. Top /\ N e. J) /\ S C_ N) -> S C_ U.J)
8	7	3impa 1062	. . 3 |- ((J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N) -> S C_ U.J)
9	3, 8	syld3an3 1142	. 2 |- ((J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N) -> (S C_ N <-> N e. ((nei` J)` S)))
10	1, 9	mpbid 212	1 |- ((J e. Top /\ N e. J /\ S C_ N) -> N e. ((nei` J)` S))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988

This theorem is referenced by:  opnneip 9009  tpnei 9010  opnneiid 9013  neissex 9014  iscnp3 14946

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-nei 8989

Copyright terms: Public domain