MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneiss Structured version   Unicode version

Theorem opnneiss 19597
Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneiss  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )

Proof of Theorem opnneiss
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  N )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32eltopss 19394 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J )  ->  N  C_  U. J )
4 sstr 3497 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  N  /\  N  C_  U. J )  ->  S  C_  U. J
)
54ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( N  C_  U. J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  U. J )
63, 5stoic3 1596 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  U. J )
72opnneissb 19593 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  C_  N 
<->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) ) )
86, 7syld3an3 1274 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  -> 
( S  C_  N  <->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S
) ) )
91, 8mpbid 210 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    e. wcel 1804    C_ wss 3461   U.cuni 4234   ` cfv 5578   Topctop 19372   neicnei 19576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-top 19377  df-nei 19577
This theorem is referenced by:  opnneip  19598  tpnei  19600  topssnei  19603  opnneiid  19605  neissex  19606  cmpkgen  20030
  Copyright terms: Public domain W3C validator