Theorem opnnei 19914

Description: A set is open iff it is a neighborhood of all its points. ( Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.) (Contributed by NM, 16-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
opnnei	|- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, S

Proof of Theorem opnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 19705	. . . . 5 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
2	1	adantr 463	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> (/) e. J )
3		eleq1 2474	. . . . 5 |- ( S = (/) -> ( S e. J <-> (/) e. J ) )
4	3	adantl 464	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> ( S e. J <-> (/) e. J ) )
5	2, 4	mpbird 232	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> S e. J )
6		rzal 3875	. . . 4 |- ( S = (/) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
7	6	adantl 464	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
8	5, 7	2thd 240	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
9		opnneip 19913	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S e. J /\ x e. S ) -> S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
10	9	3expia 1199	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( x e. S -> S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
11	10	ralrimiv 2816	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
12	11	ex 432	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( S e. J -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
13	12	adantr 463	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( S e. J -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
14		df-ne 2600	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) <-> -. S = (/) )
15		r19.2z 3862	. . . . . . 7 |- ( ( S =/= (/) /\ A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
16	15	ex 432	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
17	14, 16	sylbir 213	. . . . 5 |- ( -. S = (/) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
18		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
19	18	neii1 19900	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> S C_ U. J )
20	19	ex 432	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
21	20	rexlimdvw 2899	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
22	17, 21	sylan9r 656	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
23	18	ntrss2 19850	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
24	23	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
25		vex 3062	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
26	25	snss 4096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( int ` J ) ` S ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
27	26	ralbii 2835	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) <-> A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
28		dfss3 3432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ( int ` J ) ` S ) <-> A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) )
29	28	biimpri 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
30	29	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
31	27, 30	sylan2br 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
32	24, 31	eqssd 3459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )
33	32	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
34	25	snss 4096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S <-> { x } C_ S )
35		sstr2 3449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x } C_ S -> ( S C_ U. J -> { x } C_ U. J ) )
36	35	com12 29	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ U. J -> ( { x } C_ S -> { x } C_ U. J ) )
37	36	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( { x } C_ S -> { x } C_ U. J ) )
38	34, 37	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( x e. S -> { x } C_ U. J ) )
39	38	imp 427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ x e. S ) -> { x } C_ U. J )
40	18	neiint 19898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ { x } C_ U. J /\ S C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
41	40	3com23 1203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J /\ { x } C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
42	41	3expa 1197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ { x } C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
43	39, 42	syldan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ x e. S ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
44	43	ralbidva 2840	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
45	18	isopn3 19860	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
46	33, 44, 45	3imtr4d 268	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) )
47	46	ex 432	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( S C_ U. J -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) ) )
48	47	com23 78	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> ( S C_ U. J -> S e. J ) ) )
49	48	adantr 463	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> ( S C_ U. J -> S e. J ) ) )
50	22, 49	mpdd 38	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) )
51	13, 50	impbid 190	. 2 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
52	8, 51	pm2.61dan 792	1 |- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   U.cuni 4191   ` cfv 5569   Topctop 19686   intcnt 19810   neicnei 19891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-top 19691  df-ntr 19813  df-nei 19892

This theorem is referenced by:  neiptopreu  19927  flimcf  20775