Theorem opnnei 18837

Description: A set is open iff it is a neighborhood of all its points. ( Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.) (Contributed by NM, 16-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
opnnei	|- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, S

Proof of Theorem opnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 18630	. . . . 5 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
2	1	adantr 465	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> (/) e. J )
3		eleq1 2521	. . . . 5 |- ( S = (/) -> ( S e. J <-> (/) e. J ) )
4	3	adantl 466	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> ( S e. J <-> (/) e. J ) )
5	2, 4	mpbird 232	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> S e. J )
6		rzal 3876	. . . 4 |- ( S = (/) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
7	6	adantl 466	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
8	5, 7	2thd 240	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
9		opnneip 18836	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S e. J /\ x e. S ) -> S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
10	9	3expia 1190	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( x e. S -> S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
11	10	ralrimiv 2818	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
12	11	ex 434	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( S e. J -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
13	12	adantr 465	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( S e. J -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
14		df-ne 2644	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) <-> -. S = (/) )
15		r19.2z 3864	. . . . . . 7 |- ( ( S =/= (/) /\ A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
16	15	ex 434	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
17	14, 16	sylbir 213	. . . . 5 |- ( -. S = (/) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
18		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
19	18	neii1 18823	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> S C_ U. J )
20	19	ex 434	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
21	20	rexlimdvw 2937	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
22	17, 21	sylan9r 658	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
23	18	ntrss2 18774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
25		vex 3068	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
26	25	snss 4094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( int ` J ) ` S ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
27	26	ralbii 2828	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) <-> A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
28		dfss3 3441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ( int ` J ) ` S ) <-> A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) )
29	28	biimpri 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
30	29	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
31	27, 30	sylan2br 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
32	24, 31	eqssd 3468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )
33	32	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
34	25	snss 4094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S <-> { x } C_ S )
35		sstr2 3458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x } C_ S -> ( S C_ U. J -> { x } C_ U. J ) )
36	35	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ U. J -> ( { x } C_ S -> { x } C_ U. J ) )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( { x } C_ S -> { x } C_ U. J ) )
38	34, 37	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( x e. S -> { x } C_ U. J ) )
39	38	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ x e. S ) -> { x } C_ U. J )
40	18	neiint 18821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ { x } C_ U. J /\ S C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
41	40	3com23 1194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J /\ { x } C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
42	41	3expa 1188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ { x } C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
43	39, 42	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ x e. S ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
44	43	ralbidva 2833	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
45	18	isopn3 18783	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
46	33, 44, 45	3imtr4d 268	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) )
47	46	ex 434	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( S C_ U. J -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) ) )
48	47	com23 78	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> ( S C_ U. J -> S e. J ) ) )
49	48	adantr 465	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> ( S C_ U. J -> S e. J ) ) )
50	22, 49	mpdd 40	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) )
51	13, 50	impbid 191	. 2 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
52	8, 51	pm2.61dan 789	1 |- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2642   A.wral 2793   E.wrex 2794   C_ wss 3423   (/)c0 3732   {csn 3972   U.cuni 4186   ` cfv 5513   Topctop 18611   intcnt 18734   neicnei 18814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-top 18616  df-ntr 18737  df-nei 18815

This theorem is referenced by:  neiptopreu  18850  flimcf  19668