Theorem opnnei 19384

Description: A set is open iff it is a neighborhood of all its points. ( Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.) (Contributed by NM, 16-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
opnnei	|- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, S

Proof of Theorem opnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 19177	. . . . 5 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
2	1	adantr 465	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> (/) e. J )
3		eleq1 2539	. . . . 5 |- ( S = (/) -> ( S e. J <-> (/) e. J ) )
4	3	adantl 466	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> ( S e. J <-> (/) e. J ) )
5	2, 4	mpbird 232	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> S e. J )
6		rzal 3929	. . . 4 |- ( S = (/) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
7	6	adantl 466	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
8	5, 7	2thd 240	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
9		opnneip 19383	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S e. J /\ x e. S ) -> S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
10	9	3expia 1198	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( x e. S -> S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
11	10	ralrimiv 2876	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
12	11	ex 434	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( S e. J -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
13	12	adantr 465	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( S e. J -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
14		df-ne 2664	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) <-> -. S = (/) )
15		r19.2z 3917	. . . . . . 7 |- ( ( S =/= (/) /\ A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
16	15	ex 434	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
17	14, 16	sylbir 213	. . . . 5 |- ( -. S = (/) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
18		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
19	18	neii1 19370	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> S C_ U. J )
20	19	ex 434	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
21	20	rexlimdvw 2958	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
22	17, 21	sylan9r 658	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
23	18	ntrss2 19321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
25		vex 3116	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
26	25	snss 4151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( int ` J ) ` S ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
27	26	ralbii 2895	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) <-> A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
28		dfss3 3494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ( int ` J ) ` S ) <-> A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) )
29	28	biimpri 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
30	29	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
31	27, 30	sylan2br 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
32	24, 31	eqssd 3521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )
33	32	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
34	25	snss 4151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S <-> { x } C_ S )
35		sstr2 3511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x } C_ S -> ( S C_ U. J -> { x } C_ U. J ) )
36	35	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ U. J -> ( { x } C_ S -> { x } C_ U. J ) )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( { x } C_ S -> { x } C_ U. J ) )
38	34, 37	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( x e. S -> { x } C_ U. J ) )
39	38	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ x e. S ) -> { x } C_ U. J )
40	18	neiint 19368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ { x } C_ U. J /\ S C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
41	40	3com23 1202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J /\ { x } C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
42	41	3expa 1196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ { x } C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
43	39, 42	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ x e. S ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
44	43	ralbidva 2900	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
45	18	isopn3 19330	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
46	33, 44, 45	3imtr4d 268	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) )
47	46	ex 434	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( S C_ U. J -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) ) )
48	47	com23 78	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> ( S C_ U. J -> S e. J ) ) )
49	48	adantr 465	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> ( S C_ U. J -> S e. J ) ) )
50	22, 49	mpdd 40	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) )
51	13, 50	impbid 191	. 2 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
52	8, 51	pm2.61dan 789	1 |- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245   ` cfv 5586   Topctop 19158   intcnt 19281   neicnei 19361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-top 19163  df-ntr 19284  df-nei 19362

This theorem is referenced by:  neiptopreu  19397  flimcf  20215