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Theorem opnnei 19914
Description: A set is open iff it is a neighborhood of all its points. ( Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.) (Contributed by NM, 16-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
opnnei  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, S

Proof of Theorem opnnei
StepHypRef Expression
1 0opn 19705 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
21adantr 463 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  (/) 
e.  J )
3 eleq1 2474 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S  e.  J  <->  (/)  e.  J
) )
43adantl 464 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  (/)  e.  J ) )
52, 4mpbird 232 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  S  e.  J )
6 rzal 3875 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
76adantl 464 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
85, 72thd 240 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
9 opnneip 19913 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) )
1093expia 1199 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( x  e.  S  ->  S  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) ) )
1110ralrimiv 2816 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
1211ex 432 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
1312adantr 463 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ) )
14 df-ne 2600 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  -.  S  =  (/) )
15 r19.2z 3862 . . . . . . 7  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
1615ex 432 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
1714, 16sylbir 213 . . . . 5  |-  ( -.  S  =  (/)  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ) )
18 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1918neii1 19900 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  S  C_  U. J
)
2019ex 432 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  S  C_  U. J
) )
2120rexlimdvw 2899 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  S  C_  U. J
) )
2217, 21sylan9r 656 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  C_ 
U. J ) )
2318ntrss2 19850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  C_  S )
2423adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  C_  S
)
25 vex 3062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
2625snss 4096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  <->  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)
2726ralbii 2835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  S  {
x }  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
28 dfss3 3432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( ( int `  J ) `  S
)  <->  A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J ) `  S ) )
2928biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )  ->  S  C_  ( ( int `  J ) `  S ) )
3029adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
3127, 30sylan2br 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
3224, 31eqssd 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  =  S )
3332ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  =  S ) )
3425snss 4096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  <->  { x }  C_  S )
35 sstr2 3449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x }  C_  S  ->  ( S  C_  U. J  ->  { x }  C_  U. J ) )
3635com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  U. J  ->  ( { x }  C_  S  ->  { x }  C_ 
U. J ) )
3736adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( { x }  C_  S  ->  { x }  C_  U. J ) )
3834, 37syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( x  e.  S  ->  { x }  C_  U. J ) )
3938imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  x  e.  S
)  ->  { x }  C_  U. J )
4018neiint 19898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  U. J  /\  S  C_  U. J
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
41403com23 1203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
42413expa 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  { x }  C_ 
U. J )  -> 
( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4339, 42syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  x  e.  S
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4443ralbidva 2840 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4518isopn3 19860 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J ) `  S
)  =  S ) )
4633, 44, 453imtr4d 268 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) )
4746ex 432 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  C_  U. J  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) ) )
4847com23 78 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  ( S  C_  U. J  ->  S  e.  J ) ) )
4948adantr 463 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  ( S  C_  U. J  ->  S  e.  J )
) )
5022, 49mpdd 38 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) )
5113, 50impbid 190 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
528, 51pm2.61dan 792 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   U.cuni 4191   ` cfv 5569   Topctop 19686   intcnt 19810   neicnei 19891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-top 19691  df-ntr 19813  df-nei 19892
This theorem is referenced by:  neiptopreu  19927  flimcf  20775
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