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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > opnnei | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A set is open iff it is a neighborhood of all of its points. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.) |
Ref | Expression |
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opnnei |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 0opn 20011 |
. . . . 5
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2 | 1 | adantr 472 |
. . . 4
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3 | eleq1 2537 |
. . . . 5
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4 | 3 | adantl 473 |
. . . 4
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5 | 2, 4 | mpbird 240 |
. . 3
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6 | rzal 3862 |
. . . 4
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7 | 6 | adantl 473 |
. . 3
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8 | 5, 7 | 2thd 248 |
. 2
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9 | opnneip 20212 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | 3expia 1233 |
. . . . . 6
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11 | 10 | ralrimiv 2808 |
. . . . 5
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12 | 11 | ex 441 |
. . . 4
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13 | 12 | adantr 472 |
. . 3
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14 | df-ne 2643 |
. . . . . 6
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15 | r19.2z 3849 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | ex 441 |
. . . . . 6
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17 | 14, 16 | sylbir 218 |
. . . . 5
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18 | eqid 2471 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | neii1 20199 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | ex 441 |
. . . . . 6
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21 | 20 | rexlimdvw 2874 |
. . . . 5
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22 | 17, 21 | sylan9r 670 |
. . . 4
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23 | 18 | ntrss2 20149 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
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25 | vex 3034 |
. . . . . . . . . . . . 13
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26 | 25 | snss 4087 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | 26 | ralbii 2823 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | dfss3 3408 |
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29 | 28 | biimpri 211 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 29 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 27, 30 | sylan2br 484 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 24, 31 | eqssd 3435 |
. . . . . . . . 9
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33 | 32 | ex 441 |
. . . . . . . 8
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34 | 25 | snss 4087 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | sstr2 3425 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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36 | 35 | com12 31 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | 36 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 34, 37 | syl5bi 225 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | imp 436 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 18 | neiint 20197 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | 3com23 1237 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 41 | 3expa 1231 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 39, 42 | syldan 478 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | ralbidva 2828 |
. . . . . . . 8
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45 | 18 | isopn3 20159 |
. . . . . . . 8
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46 | 33, 44, 45 | 3imtr4d 276 |
. . . . . . 7
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47 | 46 | ex 441 |
. . . . . 6
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48 | 47 | com23 80 |
. . . . 5
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49 | 48 | adantr 472 |
. . . 4
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50 | 22, 49 | mpdd 40 |
. . 3
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51 | 13, 50 | impbid 195 |
. 2
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52 | 8, 51 | pm2.61dan 808 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-top 19998 df-ntr 20112 df-nei 20191 |
This theorem is referenced by: neiptopreu 20226 flimcf 21075 |
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