Theorem opnnei 15417

Description: A set is open iff it is a neighborhood of all its points.

Assertion

Ref	Expression
opnnei	|- (J e. Top -> (S e. J <-> A.x e. S S e. ((nei` J)` {x})))

Distinct variable groups:   x,J   x,S

Proof of Theorem opnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 8870	. . . . 5 |- (J e. Top -> (/) e. J)
2	1	adantr 425	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S = (/)) -> (/) e. J)
3		eleq1 1957	. . . . 5 |- (S = (/) -> (S e. J <-> (/) e. J))
4	3	adantl 424	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S = (/)) -> (S e. J <-> (/) e. J))
5	2, 4	mpbird 213	. . 3 |- ((J e. Top /\ S = (/)) -> S e. J)
6		rzal 2970	. . . 4 |- (S = (/) -> A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}))
7	6	adantl 424	. . 3 |- ((J e. Top /\ S = (/)) -> A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}))
8		pm5.1 740	. . 3 |- ((S e. J /\ A.x e. S S e. ((nei` J)` {x})) -> (S e. J <-> A.x e. S S e. ((nei` J)` {x})))
9	5, 7, 8	syl11anc 524	. 2 |- ((J e. Top /\ S = (/)) -> (S e. J <-> A.x e. S S e. ((nei` J)` {x})))
10		opnneip 9009	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ S e. J /\ x e. S) -> S e. ((nei` J)` {x}))
11	10	3expia 1069	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ S e. J) -> (x e. S -> S e. ((nei` J)` {x})))
12	11	r19.21aiv 2175	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S e. J) -> A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}))
13	12	ex 402	. . . 4 |- (J e. Top -> (S e. J -> A.x e. S S e. ((nei` J)` {x})))
14	13	adantr 425	. . 3 |- ((J e. Top /\ -. S = (/)) -> (S e. J -> A.x e. S S e. ((nei` J)` {x})))
15		df-ne 2019	. . . . . 6 |- (S =/= (/) <-> -. S = (/))
16		r19.2z 2958	. . . . . . 7 |- ((S =/= (/) /\ A.x e. S S e. ((nei` J)` {x})) -> E.x e. S S e. ((nei` J)` {x}))
17	16	ex 402	. . . . . 6 |- (S =/= (/) -> (A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}) -> E.x e. S S e. ((nei` J)` {x})))
18	15, 17	sylbir 218	. . . . 5 |- (-. S = (/) -> (A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}) -> E.x e. S S e. ((nei` J)` {x})))
19		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- U.J = U.J
20	19	neii1 8997	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ S e. ((nei` J)` {x})) -> S C_ U.J)
21	20	ex 402	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (S e. ((nei` J)` {x}) -> S C_ U.J))
22	21	a1d 15	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (x e. S -> (S e. ((nei` J)` {x}) -> S C_ U.J)))
23	22	r19.23adv 2215	. . . . 5 |- (J e. Top -> (E.x e. S S e. ((nei` J)` {x}) -> S C_ U.J))
24	18, 23	sylan9r 519	. . . 4 |- ((J e. Top /\ -. S = (/)) -> (A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}) -> S C_ U.J))
25	19	ntrss2 8966	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ S C_ U.J) -> ((int` J)` S) C_ S)
26	25	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ S C_ U.J) /\ A.x e. S {x} C_ ((int` J)` S)) -> ((int` J)` S) C_ S)
27		dfss3 2611	. . . . . . . . . . . . 13 |- (S C_ ((int` J)` S) <-> A.x e. S x e. ((int` J)` S))
28	27	biimpri 169	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x e. S x e. ((int` J)` S) -> S C_ ((int` J)` S))
29	28	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ S C_ U.J) /\ A.x e. S x e. ((int` J)` S)) -> S C_ ((int` J)` S))
30		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
31	30	snss 3122	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ((int` J)` S) <-> {x} C_ ((int` J)` S))
32	31	ralbii 2127	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. S x e. ((int` J)` S) <-> A.x e. S {x} C_ ((int` J)` S))
33	29, 32	sylan2br 502	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ S C_ U.J) /\ A.x e. S {x} C_ ((int` J)` S)) -> S C_ ((int` J)` S))
34	26, 33	eqssd 2633	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ S C_ U.J) /\ A.x e. S {x} C_ ((int` J)` S)) -> ((int` J)` S) = S)
35	34	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ S C_ U.J) -> (A.x e. S {x} C_ ((int` J)` S) -> ((int` J)` S) = S))
36		sstr2 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ({x} C_ S -> (S C_ U.J -> {x} C_ U.J))
37	36	com12 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- (S C_ U.J -> ({x} C_ S -> {x} C_ U.J))
38	37	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ S C_ U.J) -> ({x} C_ S -> {x} C_ U.J))
39	30	snss 3122	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. S <-> {x} C_ S)
40	38, 39	syl5ib 223	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ S C_ U.J) -> (x e. S -> {x} C_ U.J))
41	40	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ S C_ U.J) /\ x e. S) -> {x} C_ U.J)
42	19	neiint 8995	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ {x} C_ U.J /\ S C_ U.J) -> (S e. ((nei` J)` {x}) <-> {x} C_ ((int` J)` S)))
43	42	3com23 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ S C_ U.J /\ {x} C_ U.J) -> (S e. ((nei` J)` {x}) <-> {x} C_ ((int` J)` S)))
44	43	3expa 1067	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ S C_ U.J) /\ {x} C_ U.J) -> (S e. ((nei` J)` {x}) <-> {x} C_ ((int` J)` S)))
45	41, 44	syldan 516	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ S C_ U.J) /\ x e. S) -> (S e. ((nei` J)` {x}) <-> {x} C_ ((int` J)` S)))
46	45	ralbidva 2119	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ S C_ U.J) -> (A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}) <-> A.x e. S {x} C_ ((int` J)` S)))
47	19	isopn3 8973	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ S C_ U.J) -> (S e. J <-> ((int` J)` S) = S))
48	35, 46, 47	3imtr4d 602	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ S C_ U.J) -> (A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}) -> S e. J))
49	48	ex 402	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (S C_ U.J -> (A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}) -> S e. J)))
50	49	com23 36	. . . . 5 |- (J e. Top -> (A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}) -> (S C_ U.J -> S e. J)))
51	50	adantr 425	. . . 4 |- ((J e. Top /\ -. S = (/)) -> (A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}) -> (S C_ U.J -> S e. J)))
52	24, 51	mpdd 57	. . 3 |- ((J e. Top /\ -. S = (/)) -> (A.x e. S S e. ((nei` J)` {x}) -> S e. J))
53	14, 52	impbid 574	. 2 |- ((J e. Top /\ -. S = (/)) -> (S e. J <-> A.x e. S S e. ((nei` J)` {x})))
54	9, 53	pm2.61dan 535	1 |- (J e. Top -> (S e. J <-> A.x e. S S e. ((nei` J)` {x})))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  intcnt 8937  neicnei 8988

This theorem is referenced by:  neibastop3 15524

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-ntr 8940  df-nei 8989

Copyright terms: Public domain