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Theorem opnmbllem0 28453
Description: Lemma for ismblfin 28458; could also be used to shorten proof of opnmbllem 21103. (Contributed by Brendan Leahy, 13-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
opnmbllem0  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  U. ( [,] " { z  e. 
ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. )  |  ( [,] `  z )  C_  A } )  =  A )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem opnmbllem0
Dummy variables  n  r  s  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5712 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( [,] `  z )  =  ( [,] `  w
) )
21sseq1d 3404 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( [,] `  z
)  C_  A  <->  ( [,] `  w )  C_  A
) )
32elrab 3138 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { z  e. 
ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. )  |  ( [,] `  z )  C_  A }  <->  ( w  e. 
ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. )  /\  ( [,] `  w )  C_  A ) )
4 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  (
w  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  /\  ( [,] `  w
)  C_  A )
)  ->  ( [,] `  w )  C_  A
)
5 fvex 5722 . . . . . . . 8  |-  ( [,] `  w )  e.  _V
65elpw 3887 . . . . . . 7  |-  ( ( [,] `  w )  e.  ~P A  <->  ( [,] `  w )  C_  A
)
74, 6sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  (
w  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  /\  ( [,] `  w
)  C_  A )
)  ->  ( [,] `  w )  e.  ~P A )
83, 7sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  w  e.  { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)  |  ( [,] `  z )  C_  A } )  ->  ( [,] `  w )  e. 
~P A )
98ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A. w  e.  { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)  |  ( [,] `  z )  C_  A }  ( [,] `  w
)  e.  ~P A
)
10 iccf 11409 . . . . . 6  |-  [,] :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR*
11 ffun 5582 . . . . . 6  |-  ( [,]
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR*  ->  Fun  [,] )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  Fun  [,]
13 ssrab2 3458 . . . . . . 7  |-  { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }  C_ 
ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. )
14 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  r  ->  (
x  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( r  / 
( 2 ^ y
) ) )
15 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  r  ->  (
x  +  1 )  =  ( r  +  1 ) )
1615oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  r  ->  (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( ( r  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) )
1714, 16opeq12d 4088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  r  ->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >.  =  <. ( r  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( r  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
18 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  s  ->  (
2 ^ y )  =  ( 2 ^ s ) )
1918oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  s  ->  (
r  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( r  / 
( 2 ^ s
) ) )
2018oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  s  ->  (
( r  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( ( r  +  1 )  / 
( 2 ^ s
) ) )
2119, 20opeq12d 4088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  s  ->  <. (
r  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( r  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >.  =  <. ( r  /  ( 2 ^ s ) ) ,  ( ( r  +  1 )  / 
( 2 ^ s
) ) >. )
2217, 21cbvmpt2v 6187 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  =  ( r  e.  ZZ ,  s  e. 
NN0  |->  <. ( r  / 
( 2 ^ s
) ) ,  ( ( r  +  1 )  /  ( 2 ^ s ) )
>. )
2322dyadf 21093 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. ) : ( ZZ  X.  NN0 ) --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
24 frn 5586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. ) : ( ZZ  X.  NN0 ) --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)  C_  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  C_  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
26 inss2 3592 . . . . . . . . 9  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
27 rexpssxrxp 9449 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2826, 27sstri 3386 . . . . . . . 8  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2925, 28sstri 3386 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  C_  ( RR*  X.  RR* )
3013, 29sstri 3386 . . . . . 6  |-  { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }  C_  ( RR*  X.  RR* )
3110fdmi 5585 . . . . . 6  |-  dom  [,]  =  ( RR*  X.  RR* )
3230, 31sseqtr4i 3410 . . . . 5  |-  { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }  C_ 
dom  [,]
33 funimass4 5763 . . . . 5  |-  ( ( Fun  [,]  /\  { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }  C_ 
dom  [,] )  ->  (
( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
)  C_  ~P A  <->  A. w  e.  { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A } 
( [,] `  w
)  e.  ~P A
) )
3412, 32, 33mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( [,] " { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
)  C_  ~P A  <->  A. w  e.  { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A } 
( [,] `  w
)  e.  ~P A
)
359, 34sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( [,] " { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)  |  ( [,] `  z )  C_  A } )  C_  ~P A )
36 sspwuni 4277 . . 3  |-  ( ( [,] " { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
)  C_  ~P A  <->  U. ( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
)  C_  A )
3735, 36sylib 196 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  U. ( [,] " { z  e. 
ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. )  |  ( [,] `  z )  C_  A } )  C_  A
)
38 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
3938rexmet 20390 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )
40 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
4138, 40tgioo 20395 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
4241mopni2 20090 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )  /\  A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  ->  E. r  e.  RR+  ( w (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )
4339, 42mp3an1 1301 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  w  e.  A )  ->  E. r  e.  RR+  ( w (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A )
44 elssuni 4142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  C_  U. ( topGen `
 ran  (,) )
)
45 uniretop 20363 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
4644, 45syl6sseqr 3424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  C_  RR )
4746sselda 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
48 rpre 11018 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
4938bl2ioo 20391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( w ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( w  -  r ) (,) (
w  +  r ) ) )
5047, 48, 49syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( w
( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) ) )
5150sseq1d 3404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
w ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A  <->  ( (
w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )
52 2re 10412 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
53 1lt2 10509 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
54 expnlbnd 12015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  <  r
)
5552, 53, 54mp3an23 1306 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  E. n  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  <  r
)
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r )
5747ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  w  e.  RR )
58 2nn 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
59 nnnn0 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
6059ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  n  e.  NN0 )
61 nnexpcl 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
6258, 60, 61sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
6362nnred 10358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
6457, 63remulcld 9435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( w  x.  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
65 fllelt 11668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  x.  ( 2 ^ n ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  <_  ( w  x.  ( 2 ^ n
) )  /\  (
w  x.  ( 2 ^ n ) )  <  ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  +  1 ) ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  <_ 
( w  x.  (
2 ^ n ) )  /\  ( w  x.  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 ) ) )
6766simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  <_  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )
68 reflcl 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  x.  ( 2 ^ n ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
6964, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  e.  RR )
7062nngt0d 10386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  0  <  ( 2 ^ n ) )
71 ledivmul2 10230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  (
( 2 ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) )  <_  w 
<->  ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  <_  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) ) )
7269, 57, 63, 70, 71syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) )  <_  w  <->  ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  <_  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )
7367, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) )  <_  w
)
74 peano2re 9563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7569, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  +  1 )  e.  RR )
7675, 62nndivred 10391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR )
7766simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( w  x.  ( 2 ^ n
) )  <  (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 ) )
78 ltmuldiv 10223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ n )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( (
w  x.  ( 2 ^ n ) )  <  ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  +  1 )  <->  w  <  ( ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
7957, 75, 63, 70, 78syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
w  x.  ( 2 ^ n ) )  <  ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  +  1 )  <->  w  <  ( ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
8077, 79mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  w  <  ( ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) )
8157, 76, 80ltled 9543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  w  <_  ( ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) )
8269, 62nndivred 10391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) )  e.  RR )
83 elicc2 11381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR  /\  ( ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  +  1 )  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR )  ->  ( w  e.  ( ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) ) [,] (
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  <->  ( w  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) )  <_  w  /\  w  <_  (
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
8482, 76, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( w  e.  ( ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) ) [,] (
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  <->  ( w  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) )  <_  w  /\  w  <_  (
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
8557, 73, 81, 84mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  w  e.  ( ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) ) [,] (
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
8664flcld 11669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  e.  ZZ )
8722dyadval 21094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n )  =  <. ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ,  ( ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) >. )
8886, 60, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) ) ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n )  =  <. ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ,  ( ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) >. )
8988fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( [,] `  ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n ) )  =  ( [,] `  <. ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ,  ( ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) >. )
)
90 df-ov 6115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) [,] ( ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  =  ( [,] `  <. ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ,  ( ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) >. )
9189, 90syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( [,] `  ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n ) )  =  ( ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) ) [,] (
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
9285, 91eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  w  e.  ( [,] `  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
) n ) ) )
93 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. ) : ( ZZ  X.  NN0 ) --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  Fn  ( ZZ  X.  NN0 ) )
9423, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  Fn  ( ZZ  X.  NN0 )
95 fnovrn 6259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)  Fn  ( ZZ 
X.  NN0 )  /\  ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  e.  ZZ  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. ) n )  e. 
ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. ) )
9694, 95mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n )  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
) )
9786, 60, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) ) ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n )  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
) )
98 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  r  e.  RR+ )
9998rpred 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  r  e.  RR )
10057, 99resubcld 9797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( w  -  r )  e.  RR )
101100rexrd 9454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( w  -  r )  e. 
RR* )
10257, 99readdcld 9434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( w  +  r )  e.  RR )
103102rexrd 9454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( w  +  r )  e. 
RR* )
10482, 99readdcld 9434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) )  +  r )  e.  RR )
10569recnd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  e.  CC )
106 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  1  e.  CC )
10863recnd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( 2 ^ n )  e.  CC )
10962nnne0d 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( 2 ^ n )  =/=  0 )
110105, 107, 108, 109divdird 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
11162nnrecred 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR )
112 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  < 
r )
113111, 99, 82, 112ltadd2dd 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  < 
( ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) )  +  r ) )
114110, 113eqbrtrd 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) )  +  r ) )
11557, 76, 104, 80, 114lttrd 9553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  w  <  ( ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  /  (
2 ^ n ) )  +  r ) )
11657, 99, 82ltsubaddd 9956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
w  -  r )  <  ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) )  <->  w  <  ( ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  /  (
2 ^ n ) )  +  r ) ) )
117115, 116mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( w  -  r )  < 
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  /  (
2 ^ n ) ) )
11857, 111readdcld 9434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( w  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
11982, 57, 111, 73leadd1dd 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <_ 
( w  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
120110, 119eqbrtrd 4333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) )  <_ 
( w  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
121111, 99, 57, 112ltadd2dd 9551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( w  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  < 
( w  +  r ) )
12276, 118, 102, 120, 121lelttrd 9550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) )  < 
( w  +  r ) )
123 iccssioo 11385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  -  r )  e.  RR*  /\  ( w  +  r )  e.  RR* )  /\  ( ( w  -  r )  <  (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) )  /\  ( ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) )  <  (
w  +  r ) ) )  ->  (
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) )  /  (
2 ^ n ) ) [,] ( ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) 
C_  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) ) )
124101, 103, 117, 122, 123syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) [,] ( ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) )  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  C_  ( ( w  -  r ) (,) (
w  +  r ) ) )
12591, 124eqsstrd 3411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( [,] `  ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n ) )  C_  ( ( w  -  r ) (,) (
w  +  r ) ) )
126 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( (
w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A )
127125, 126sstrd 3387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( [,] `  ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n ) )  C_  A )
128 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) ) ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n )  ->  ( [,] `  z )  =  ( [,] `  (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. ) n ) ) )
129128sseq1d 3404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) ) ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n )  ->  (
( [,] `  z
)  C_  A  <->  ( [,] `  ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n ) )  C_  A ) )
130129elrab 3138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. ) n )  e. 
{ z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)  |  ( [,] `  z )  C_  A } 
<->  ( ( ( |_
`  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) ) ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n )  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)  /\  ( [,] `  ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n ) )  C_  A ) )
13197, 127, 130sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n
) ) ) ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n )  e.  {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
)
132 funfvima2 5974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  [,]  /\  { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }  C_ 
dom  [,] )  ->  (
( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n )  e.  {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }  ->  ( [,] `  (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. ) n ) )  e.  ( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
) ) )
13312, 32, 132mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. ) n )  e. 
{ z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)  |  ( [,] `  z )  C_  A }  ->  ( [,] `  (
( |_ `  (
w  x.  ( 2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. ) n ) )  e.  ( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
) )
134131, 133syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  ( [,] `  ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n ) )  e.  ( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
) )
135 elunii 4117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ( [,] `  ( ( |_ `  ( w  x.  (
2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
n ) )  /\  ( [,] `  ( ( |_ `  ( w  x.  ( 2 ^ n ) ) ) ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
) n ) )  e.  ( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
) )  ->  w  e.  U. ( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
) )
13692, 134, 135syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  <  r ) )  ->  w  e.  U. ( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
) )
13756, 136rexlimddv 2866 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( w  -  r ) (,) ( w  +  r ) )  C_  A ) )  ->  w  e.  U. ( [,] " { z  e. 
ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. )  |  ( [,] `  z )  C_  A } ) )
138137expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( w  -  r
) (,) ( w  +  r ) ) 
C_  A  ->  w  e.  U. ( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
) ) )
13951, 138sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  w  e.  A
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
w ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A  ->  w  e.  U. ( [,] " { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)  |  ( [,] `  z )  C_  A } ) ) )
140139rexlimdva 2862 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  w  e.  A )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
w ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  A  ->  w  e.  U. ( [,] " { z  e.  ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)  |  ( [,] `  z )  C_  A } ) ) )
14143, 140mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  U. ( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
) )
142141ex 434 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( w  e.  A  ->  w  e. 
U. ( [,] " {
z  e.  ran  (
x  e.  ZZ , 
y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  |  ( [,] `  z
)  C_  A }
) ) )
143142ssrdv 3383 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  C_  U. ( [,] " { z  e. 
ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. )  |  ( [,] `  z )  C_  A } ) )
14437, 143eqssd 3394 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  U. ( [,] " { z  e. 
ran  ( x  e.  ZZ ,  y  e. 
NN0  |->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>. )  |  ( [,] `  z )  C_  A } )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   <.cop 3904   U.cuni 4112   class class class wbr 4313    X. cxp 4859   dom cdm 4861   ran crn 4862    |` cres 4863   "cima 4864    o. ccom 4865   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   RR+crp 11012   (,)cioo 11321   [,]cicc 11324   |_cfl 11661   ^cexp 11886   abscabs 12744   topGenctg 14397   *Metcxmt 17823   ballcbl 17825   MetOpencmopn 17828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-icc 11328  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528
This theorem is referenced by:  mblfinlem1  28454  mblfinlem2  28455
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