MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Structured version   Unicode version

Theorem opnmblALT 21196
Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 21195 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 8702. (This was also the original proof before the current opnmbl 21195 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 20451 . . . 4  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
2 eltg3 18680 . . . 4  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  E. x
( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  E. x
( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x ) )
4 uniiun 4318 . . . . . . 7  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
5 ssdomg 7452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( x  C_  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ) )
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
7 omelon 7950 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
8 qnnen 13595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  ~~  NN
9 xpen 7571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
108, 8, 9mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
11 xpnnen 13590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
1210, 11entri 7460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
13 nnenom 11900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
1412, 13entr2i 7461 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
15 isnumi 8214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
167, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
17 ioof 11485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
18 ffun 5656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (,)
20 qssre 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  C_  RR
21 ressxr 9525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
2220, 21sstri 3460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  QQ  C_  RR*
23 xpss12 5040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2422, 22, 23mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2517fdmi 5659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2624, 25sseqtr4i 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
27 fores 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2819, 26, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
29 fodomnum 8325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
3016, 28, 29mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
31 domentr 7465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  NN )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN )
3230, 12, 31mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN
33 domtr 7459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN )  ->  x  ~<_  NN )
346, 32, 33sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  NN )
35 imassrn 5275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
36 ffn 5654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3717, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
38 ioombl 21159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x (,) y )  e. 
dom  vol
3938rgen2w 2889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  dom  vol
40 ffnov 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> dom  vol  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  dom  vol )
)
4137, 39, 40mpbir2an 911 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> dom  vol
42 frn 5660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> dom  vol  ->  ran  (,)  C_ 
dom  vol )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (,)  C_ 
dom  vol
4435, 43sstri 3460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  dom  vol
45 sstr 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  dom  vol )  ->  x  C_  dom  vol )
4644, 45mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  C_  dom  vol )
47 dfss3 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  dom  vol  <->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
4846, 47sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
49 iunmbl2 21151 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  ~<_  NN  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
5034, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
514, 50syl5eqel 2541 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  U. x  e.  dom  vol )
52 eleq1 2521 . . . . . 6  |-  ( A  =  U. x  -> 
( A  e.  dom  vol  <->  U. x  e.  dom  vol ) )
5351, 52syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( A  = 
U. x  ->  A  e.  dom  vol ) )
5453imp 429 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  dom  vol )
5554exlimiv 1689 . . 3  |-  ( E. x ( x  C_  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  dom  vol )
563, 55sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  ->  A  e.  dom  vol )
57 eqid 2451 . . 3  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
5857tgqioo 20490 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
5956, 58eleq2s 2557 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2793    C_ wss 3423   ~Pcpw 3955   U.cuni 4186   U_ciun 4266   class class class wbr 4387   Oncon0 4814    X. cxp 4933   dom cdm 4935   ran crn 4936    |` cres 4937   "cima 4938   Fun wfun 5507    Fn wfn 5508   -->wf 5509   -onto->wfo 5511   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   omcom 6573    ~~ cen 7404    ~<_ cdom 7405   cardccrd 8203   RRcr 9379   RR*cxr 9515   NNcn 10420   QQcq 11051   (,)cioo 11398   topGenctg 14475   TopBasesctb 18615   volcvol 21060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cc 8702  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-disj 4358  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-omul 7022  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-acn 8210  df-cda 8435  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-q 11052  df-rp 11090  df-xadd 11188  df-ioo 11402  df-ico 11404  df-icc 11405  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-fl 11740  df-seq 11905  df-exp 11964  df-hash 12202  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-clim 13065  df-rlim 13066  df-sum 13263  df-topgen 14481  df-xmet 17916  df-met 17917  df-bases 18618  df-ovol 21061  df-vol 21062
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator