MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Structured version   Unicode version

Theorem opnmblALT 21990
Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 21989 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 8818. (This was also the original proof before the current opnmbl 21989 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 21244 . . . 4  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
2 eltg3 19441 . . . 4  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  E. x
( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  E. x
( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x ) )
4 uniiun 4368 . . . . . . 7  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
5 ssdomg 7563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( x  C_  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ) )
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
7 omelon 8066 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
8 qnnen 13929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  ~~  NN
9 xpen 7682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
108, 8, 9mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
11 xpnnen 13924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
1210, 11entri 7571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
13 nnenom 12072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
1412, 13entr2i 7572 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
15 isnumi 8330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
167, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
17 ioof 11633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
18 ffun 5723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (,)
20 qssre 11203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  C_  RR
21 ressxr 9640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
2220, 21sstri 3498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  QQ  C_  RR*
23 xpss12 5098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2422, 22, 23mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2517fdmi 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2624, 25sseqtr4i 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
27 fores 5794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2819, 26, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
29 fodomnum 8441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
3016, 28, 29mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
31 domentr 7576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  NN )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN )
3230, 12, 31mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN
33 domtr 7570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN )  ->  x  ~<_  NN )
346, 32, 33sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  NN )
35 imassrn 5338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
36 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3717, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
38 ioombl 21953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x (,) y )  e. 
dom  vol
3938rgen2w 2805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  dom  vol
40 ffnov 6391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> dom  vol  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  dom  vol )
)
4137, 39, 40mpbir2an 920 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> dom  vol
42 frn 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> dom  vol  ->  ran  (,)  C_ 
dom  vol )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (,)  C_ 
dom  vol
4435, 43sstri 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  dom  vol
45 sstr 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  dom  vol )  ->  x  C_  dom  vol )
4644, 45mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  C_  dom  vol )
47 dfss3 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  dom  vol  <->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
4846, 47sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
49 iunmbl2 21945 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  ~<_  NN  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
5034, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
514, 50syl5eqel 2535 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  U. x  e.  dom  vol )
52 eleq1 2515 . . . . . 6  |-  ( A  =  U. x  -> 
( A  e.  dom  vol  <->  U. x  e.  dom  vol ) )
5351, 52syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( A  = 
U. x  ->  A  e.  dom  vol ) )
5453imp 429 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  dom  vol )
5554exlimiv 1709 . . 3  |-  ( E. x ( x  C_  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  dom  vol )
563, 55sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  ->  A  e.  dom  vol )
57 eqid 2443 . . 3  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
5857tgqioo 21283 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
5956, 58eleq2s 2551 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   A.wral 2793    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   U.cuni 4234   U_ciun 4315   class class class wbr 4437   Oncon0 4868    X. cxp 4987   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   "cima 4992   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   omcom 6685    ~~ cen 7515    ~<_ cdom 7516   cardccrd 8319   RRcr 9494   RR*cxr 9630   NNcn 10543   QQcq 11193   (,)cioo 11540   topGenctg 14817   TopBasesctb 19376   volcvol 21853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xadd 11330  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-topgen 14823  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bases 19379  df-ovol 21854  df-vol 21855
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator