MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Structured version   Unicode version

Theorem opnmblALT 22302
Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 22301 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 8846. (This was also the original proof before the current opnmbl 22301 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 21556 . . . 4  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
2 eltg3 19753 . . . 4  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  E. x
( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  E. x
( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x ) )
4 uniiun 4323 . . . . . . 7  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
5 ssdomg 7598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( x  C_  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ) )
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
7 omelon 8095 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
8 qnnen 14154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  ~~  NN
9 xpen 7717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
108, 8, 9mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
11 xpnnen 14151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
1210, 11entri 7606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
13 nnenom 12129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
1412, 13entr2i 7607 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
15 isnumi 8358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
167, 14, 15mp2an 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
17 ioof 11674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
18 ffun 5715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (,)
20 qssre 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  C_  RR
21 ressxr 9666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
2220, 21sstri 3450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  QQ  C_  RR*
23 xpss12 4928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2422, 22, 23mp2an 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2517fdmi 5718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2624, 25sseqtr4i 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
27 fores 5786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2819, 26, 27mp2an 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
29 fodomnum 8469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
3016, 28, 29mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
31 domentr 7611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  NN )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN )
3230, 12, 31mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN
33 domtr 7605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN )  ->  x  ~<_  NN )
346, 32, 33sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  NN )
35 imassrn 5167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
36 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3717, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
38 ioombl 22265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x (,) y )  e. 
dom  vol
3938rgen2w 2765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  dom  vol
40 ffnov 6386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> dom  vol  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  dom  vol )
)
4137, 39, 40mpbir2an 921 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> dom  vol
42 frn 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> dom  vol  ->  ran  (,)  C_ 
dom  vol )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (,)  C_ 
dom  vol
4435, 43sstri 3450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  dom  vol
45 sstr 3449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  dom  vol )  ->  x  C_  dom  vol )
4644, 45mpan2 669 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  C_  dom  vol )
47 dfss3 3431 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  dom  vol  <->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
4846, 47sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
49 iunmbl2 22257 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  ~<_  NN  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
5034, 48, 49syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
514, 50syl5eqel 2494 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  U. x  e.  dom  vol )
52 eleq1 2474 . . . . . 6  |-  ( A  =  U. x  -> 
( A  e.  dom  vol  <->  U. x  e.  dom  vol ) )
5351, 52syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( A  = 
U. x  ->  A  e.  dom  vol ) )
5453imp 427 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  dom  vol )
5554exlimiv 1743 . . 3  |-  ( E. x ( x  C_  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  dom  vol )
563, 55sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  ->  A  e.  dom  vol )
57 eqid 2402 . . 3  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
5857tgqioo 21595 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
5956, 58eleq2s 2510 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   A.wral 2753    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   U.cuni 4190   U_ciun 4270   class class class wbr 4394    X. cxp 4820   dom cdm 4822   ran crn 4823    |` cres 4824   "cima 4825   Oncon0 5409   Fun wfun 5562    Fn wfn 5563   -->wf 5564   -onto->wfo 5566   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   omcom 6682    ~~ cen 7550    ~<_ cdom 7551   cardccrd 8347   RRcr 9520   RR*cxr 9656   NNcn 10575   QQcq 11226   (,)cioo 11581   topGenctg 15050   TopBasesctb 19688   volcvol 22165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xadd 11371  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-topgen 15056  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bases 19691  df-ovol 22166  df-vol 22167
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator