MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmbl Structured version   Unicode version

Theorem opnmbl 21214
Description: All open sets are measurable. This proof, via dyadmbl 21212 and uniioombl 21201, shows that it is possible to avoid choice for measurability of open sets and hence continuous functions, which extends the choice-free consequences of Lebesgue measure considerably farther than would otherwise be possible. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnmbl  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem opnmbl
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6206 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
x  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( z  / 
( 2 ^ y
) ) )
2 oveq1 6206 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
32oveq1d 6214 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) )
41, 3opeq12d 4174 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >.  =  <. ( z  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
5 oveq2 6207 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
2 ^ y )  =  ( 2 ^ w ) )
65oveq2d 6215 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  (
z  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( z  / 
( 2 ^ w
) ) )
75oveq2d 6215 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ w
) ) )
86, 7opeq12d 4174 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  <. (
z  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >.  =  <. ( z  /  ( 2 ^ w ) ) ,  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ w
) ) >. )
94, 8cbvmpt2v 6274 . 2  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  =  ( z  e.  ZZ ,  w  e. 
NN0  |->  <. ( z  / 
( 2 ^ w
) ) ,  ( ( z  +  1 )  /  ( 2 ^ w ) )
>. )
109opnmbllem 21213 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   <.cop 3990   dom cdm 4947   ran crn 4948   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    |-> cmpt2 6201   1c1 9393    + caddc 9395    / cdiv 10103   2c2 10481   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   (,)cioo 11410   ^cexp 11981   topGenctg 14494   volcvol 21078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-disj 4370  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-omul 7034  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-acn 8222  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-rest 14479  df-topgen 14500  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-cmp 19121  df-ovol 21079  df-vol 21080
This theorem is referenced by:  subopnmbl  21216  mblfinlem3  28577  mblfinlem4  28578  ismblfin  28579
  Copyright terms: Public domain W3C validator