MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmbl Structured version   Unicode version

Theorem opnmbl 22096
Description: All open sets are measurable. This proof, via dyadmbl 22094 and uniioombl 22083, shows that it is possible to avoid choice for measurability of open sets and hence continuous functions, which extends the choice-free consequences of Lebesgue measure considerably farther than would otherwise be possible. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnmbl  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem opnmbl
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6203 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
x  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( z  / 
( 2 ^ y
) ) )
2 oveq1 6203 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
32oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) )
41, 3opeq12d 4139 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >.  =  <. ( z  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
5 oveq2 6204 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
2 ^ y )  =  ( 2 ^ w ) )
65oveq2d 6212 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  (
z  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( z  / 
( 2 ^ w
) ) )
75oveq2d 6212 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ w
) ) )
86, 7opeq12d 4139 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  <. (
z  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >.  =  <. ( z  /  ( 2 ^ w ) ) ,  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ w
) ) >. )
94, 8cbvmpt2v 6276 . 2  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  =  ( z  e.  ZZ ,  w  e. 
NN0  |->  <. ( z  / 
( 2 ^ w
) ) ,  ( ( z  +  1 )  /  ( 2 ^ w ) )
>. )
109opnmbllem 22095 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1826   <.cop 3950   dom cdm 4913   ran crn 4914   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   1c1 9404    + caddc 9406    / cdiv 10123   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   (,)cioo 11450   ^cexp 12069   topGenctg 14845   volcvol 21960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-rest 14830  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-cmp 19973  df-ovol 21961  df-vol 21962
This theorem is referenced by:  subopnmbl  22098  mblfinlem3  30218  mblfinlem4  30219  ismblfin  30220
  Copyright terms: Public domain W3C validator