MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opncld Structured version   Unicode version

Theorem opncld 19972
Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
opncld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( X  \  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem opncld
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  e.  J )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32eltopss 19861 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  X )
42isopn2 19971 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  J  <->  ( X  \  S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
53, 4syldan 472 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( X  \  S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
61, 5mpbid 213 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( X  \  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    \ cdif 3430    C_ wss 3433   U.cuni 4213   ` cfv 5592   Topctop 19841   Clsdccld 19955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fv 5600  df-top 19845  df-cld 19958
This theorem is referenced by:  iincld  19978  iuncld  19984  clsval2  19989  cmntrcld  20002  elcls  20013  opncldf1  20024  opncldf2  20025  restcld  20112  iscncl  20209  pnrmopn  20283  isnrm2  20298  isnrm3  20299  isreg2  20317  hauscmplem  20345  conndisj  20355  hausllycmp  20433  1stckgen  20493  txkgen  20591  qtoprest  20656  qtopcmap  20658  icopnfcld  21692  lebnumlem1  21878  bcth3  22185  sxbrsigalem3  28930  pconcon  29739  cvmscld  29781  cldbnd  30764  mblfinlem3  31683  mblfinlem4  31684
  Copyright terms: Public domain W3C validator