MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opncld Structured version   Unicode version

Theorem opncld 19340
Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
opncld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( X  \  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem opncld
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  e.  J )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32eltopss 19223 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  X )
42isopn2 19339 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  J  <->  ( X  \  S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
53, 4syldan 470 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( X  \  S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( X  \  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   ` cfv 5588   Topctop 19201   Clsdccld 19323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-top 19206  df-cld 19326
This theorem is referenced by:  iincld  19346  iuncld  19352  clsval2  19357  elcls  19380  opncldf1  19391  opncldf2  19392  restcld  19479  iscncl  19576  pnrmopn  19650  isnrm2  19665  isnrm3  19666  isreg2  19684  hauscmplem  19712  conndisj  19723  hausllycmp  19801  1stckgen  19882  txkgen  19980  qtoprest  20045  qtopcmap  20047  icopnfcld  21102  lebnumlem1  21288  bcth3  21597  sxbrsigalem3  27994  pconcon  28427  cvmscld  28469  mblfinlem3  29906  mblfinlem4  29907  cldbnd  29997
  Copyright terms: Public domain W3C validator