Theorem opltcon2b 16933

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (Th. chsscon2 11058 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
opltcon3.b	|- B = (base` K)
opltcon3.s	|- S = (lt` K)
opltcon3.o	|- O = (oc` K)

Assertion

Ref	Expression
opltcon2b	|- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XS(O` Y) <-> YS(O` X)))

Proof of Theorem opltcon2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opltcon3.b	. . . 4 |- B = (base` K)
2		opltcon3.s	. . . 4 |- S = (lt` K)
3		opltcon3.o	. . . 4 |- O = (oc` K)
4	1, 2, 3	opltcon3b 16931	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ (O` Y) e. B) -> (XS(O` Y) <-> (O` (O` Y))S(O` X)))
5	1, 3	opoccl 16921	. . . 4 |- ((K e. OP /\ Y e. B) -> (O` Y) e. B)
6	5	3adant2 895	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (O` Y) e. B)
7	4, 6	syld3an3 1142	. 2 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XS(O` Y) <-> (O` (O` Y))S(O` X)))
8	1, 3	opococ 16922	. . . 4 |- ((K e. OP /\ Y e. B) -> (O` (O` Y)) = Y)
9	8	3adant2 895	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (O` (O` Y)) = Y)
10	9	breq1d 3348	. 2 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((O` (O` Y))S(O` X) <-> YS(O` X)))
11	7, 10	bitrd 587	1 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XS(O` Y) <-> YS(O` X)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  ltcplt 16761  occoc 16836  OPcops 16837

This theorem is referenced by:  cvrcon3b 16994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-oposet 16905

Copyright terms: Public domain