Theorem oplecon3b 16927

Description: Contraposition law for orthoposets. (Th. chsscon3 11056 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
opcon3.b	|- B = (base` K)
opcon3.l	|- L = (le` K)
opcon3.o	|- O = (oc` K)

Assertion

Ref	Expression
oplecon3b	|- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XLY <-> (O` Y)L(O` X)))

Proof of Theorem oplecon3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opcon3.b	. . 3 |- B = (base` K)
2		opcon3.l	. . 3 |- L = (le` K)
3		opcon3.o	. . 3 |- O = (oc` K)
4	1, 2, 3	oplecon3 16926	. 2 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XLY -> (O` Y)L(O` X)))
5		simp1 876	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. OP)
6	1, 3	opoccl 16921	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ Y e. B) -> (O` Y) e. B)
7	6	3adant2 895	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (O` Y) e. B)
8	1, 3	opoccl 16921	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> (O` X) e. B)
9	8	3adant3 896	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (O` X) e. B)
10	1, 2, 3	oplecon3 16926	. . . 4 |- ((K e. OP /\ (O` Y) e. B /\ (O` X) e. B) -> ((O` Y)L(O` X) -> (O` (O` X))L(O` (O` Y))))
11	5, 7, 9, 10	syl111anc 1100	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((O` Y)L(O` X) -> (O` (O` X))L(O` (O` Y))))
12	1, 3	opococ 16922	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> (O` (O` X)) = X)
13	12	3adant3 896	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (O` (O` X)) = X)
14	1, 3	opococ 16922	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ Y e. B) -> (O` (O` Y)) = Y)
15	14	3adant2 895	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (O` (O` Y)) = Y)
16	13, 15	breq12d 3351	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((O` (O` X))L(O` (O` Y)) <-> XLY))
17	11, 16	sylibd 219	. 2 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((O` Y)L(O` X) -> XLY))
18	4, 17	impbid 574	1 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XLY <-> (O` Y)L(O` X)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  occoc 16836  OPcops 16837

This theorem is referenced by:  oplecon1b 16928  opltcon3b 16931  oldmm1 16946  omllaw4 16967  glbcon 17028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-struct 16708  df-oposet 16905

Copyright terms: Public domain