Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oplecon3b Structured version   Unicode version

Theorem oplecon3b 32941
Description: Contraposition law for orthoposets. (chsscon3 24925 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opcon3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opcon3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
opcon3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oplecon3b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem oplecon3b
StepHypRef Expression
1 opcon3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 opcon3.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 opcon3.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
41, 2, 3oplecon3 32940 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
(  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
5 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
61, 3opoccl 32935 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
763adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
81, 3opoccl 32935 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
983adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
101, 2, 3oplecon3 32940 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
.<_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
115, 7, 9, 10syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  X
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  .<_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
121, 3opococ 32936 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
13123adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
141, 3opococ 32936 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
15143adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
1613, 15breq12d 4326 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
.<_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
X  .<_  Y ) )
1711, 16sylibd 214 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  X
)  ->  X  .<_  Y ) )
184, 17impbid 191 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313   ` cfv 5439   Basecbs 14195   lecple 14266   occoc 14267   OPcops 32913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4442
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-dm 4871  df-iota 5402  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oposet 32917
This theorem is referenced by:  oplecon1b  32942  opltcon3b  32945  oldmm1  32958  omllaw4  32987  cvrcmp2  33025  glbconN  33117  lhpmod2i2  33778  lhpmod6i1  33779  lhprelat3N  33780  dochss  35106
  Copyright terms: Public domain W3C validator