Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oplecon1b Structured version   Unicode version

Theorem oplecon1b 35069
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chsscon1 26546 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opcon3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opcon3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
opcon3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oplecon1b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  X ) )

Proof of Theorem oplecon1b
StepHypRef Expression
1 opcon3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 opcon3.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
31, 2opoccl 35062 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
433adant3 1016 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
5 opcon3.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
61, 5, 2oplecon3b 35068 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
74, 6syld3an2 1275 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
81, 2opococ 35063 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
983adant3 1016 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
109breq2d 4468 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  <-> 
(  ._|_  `  Y )  .<_  X ) )
117, 10bitrd 253 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   Basecbs 14644   lecple 14719   occoc 14720   OPcops 35040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oposet 35044
This theorem is referenced by:  opoc1  35070  oldmm1  35085
  Copyright terms: Public domain W3C validator