Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople1 Structured version   Unicode version

Theorem ople1 32209
Description: Any element is less than the orthoposet unit. (chss 26561 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ople1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ople1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ople1.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
ople1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )

Proof of Theorem ople1
StepHypRef Expression
1 ople1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2402 . 2  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 ople1.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 ople1.u . 2  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
5 simpl 455 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
6 simpr 459 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
7 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
81, 2, 7op01dm 32201 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
98simpld 457 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( lub `  K
) )
109adantr 463 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  B  e.  dom  ( lub `  K ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10ple1 15998 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   ` cfv 5569   Basecbs 14841   lecple 14916   lubclub 15895   glbcglb 15896   1.cp1 15992   OPcops 32190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-lub 15928  df-p1 15994  df-oposet 32194
This theorem is referenced by:  op1le  32210  glb0N  32211  opoc1  32220  ncvr1  32290  1cvrat  32493  pmap1N  32784  pol1N  32927  dih1  34306  dihjatc  34437
  Copyright terms: Public domain W3C validator