Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople1 Structured version   Unicode version

Theorem ople1 33199
Description: Any element is less than the orthoposet unit. (chss 24811 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ople1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ople1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ople1.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
ople1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )

Proof of Theorem ople1
StepHypRef Expression
1 ople1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2454 . 2  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 ople1.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 ople1.u . 2  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
5 simpl 457 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
6 simpr 461 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
7 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
81, 2, 7op01dm 33191 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
98simpld 459 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( lub `  K
) )
109adantr 465 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  B  e.  dom  ( lub `  K ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10ple1 15337 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   ` cfv 5529   Basecbs 14296   lecple 14368   lubclub 15235   glbcglb 15236   1.cp1 15331   OPcops 33180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-lub 15267  df-p1 15333  df-oposet 33184
This theorem is referenced by:  op1le  33200  glb0N  33201  opoc1  33210  ncvr1  33280  1cvrat  33483  pmap1N  33774  pol1N  33917  dih1  35294  dihjatc  35425
  Copyright terms: Public domain W3C validator