Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople1 Structured version   Unicode version

Theorem ople1 32406
Description: Any element is less than the orthoposet unit. (chss 24454 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ople1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ople1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ople1.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
ople1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )

Proof of Theorem ople1
StepHypRef Expression
1 ople1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2433 . 2  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 ople1.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 ople1.u . 2  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
5 simpl 454 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
6 simpr 458 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
7 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
81, 2, 7op01dm 32398 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
98simpld 456 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( lub `  K
) )
109adantr 462 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  B  e.  dom  ( lub `  K ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10ple1 15196 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   dom cdm 4827   ` cfv 5406   Basecbs 14156   lecple 14227   lubclub 15094   glbcglb 15095   1.cp1 15190   OPcops 32387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-lub 15126  df-p1 15192  df-oposet 32391
This theorem is referenced by:  op1le  32407  glb0N  32408  opoc1  32417  ncvr1  32487  1cvrat  32690  pmap1N  32981  pol1N  33124  dih1  34501  dihjatc  34632
  Copyright terms: Public domain W3C validator