Theorem opeluu 3805

Description: Each member of an ordered pair belongs to the union of the union of a class to which the ordered pair belongs. Lemma 3D of [Enderton] p. 41.

Assertion

Ref	Expression
opeluu	|- (<.x, y>. e. A -> (x e. U.U.A /\ y e. U.U.A))

Proof of Theorem opeluu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunii 3182	. . 3 |- ((x e. {x, y} /\ {x, y} e. U.A) -> x e. U.U.A)
2		visset 2295	. . . 4 |- x e. _V
3	2	prid1 3106	. . 3 |- x e. {x, y}
4		opi2 3530	. . . 4 |- {x, y} e. <.x, y>.
5		elunii 3182	. . . 4 |- (({x, y} e. <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A) -> {x, y} e. U.A)
6	4, 5	mpan 759	. . 3 |- (<.x, y>. e. A -> {x, y} e. U.A)
7	1, 3, 6	sylancr 526	. 2 |- (<.x, y>. e. A -> x e. U.U.A)
8		elunii 3182	. . 3 |- ((y e. {x, y} /\ {x, y} e. U.A) -> y e. U.U.A)
9		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
10	9	prid2 3107	. . 3 |- y e. {x, y}
11	8, 10, 6	sylancr 526	. 2 |- (<.x, y>. e. A -> y e. U.U.A)
12	7, 11	jca 310	1 |- (<.x, y>. e. A -> (x e. U.U.A /\ y e. U.U.A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  {cpr 3045  <.cop 3046  U.cuni 3177

This theorem is referenced by:  asymref 4308  asymref2 4310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178

Copyright terms: Public domain