Theorem opelresi 5105

Description: <. A , A >. belongs to a restriction of the identity class iff A belongs to the restricting class. (Contributed by FL, 27-Oct-2008.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)

Assertion

Ref	Expression
opelresi	|- ( A e. V -> ( <. A , A >. e. ( _I |` B ) <-> A e. B ) )

Proof of Theorem opelresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresg 5101	. 2 |- ( A e. V -> ( <. A , A >. e. ( _I |` B ) <-> ( <. A , A >. e. _I /\ A e. B ) ) )
2		ididg 4977	. . . 4 |- ( A e. V -> A _I A )
3		df-br 4396	. . . 4 |- ( A _I A <-> <. A , A >. e. _I )
4	2, 3	sylib 196	. . 3 |- ( A e. V -> <. A , A >. e. _I )
5	4	biantrurd 506	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. B <-> ( <. A , A >. e. _I /\ A e. B ) ) )
6	1, 5	bitr4d 256	1 |- ( A e. V -> ( <. A , A >. e. ( _I |` B ) <-> A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   e. wcel 1842   <.cop 3978   class class class wbr 4395   _I cid 4733   |` cres 4825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-res 4835

This theorem is referenced by:  issref  5201  ustfilxp  21007  ustelimasn  21017  metustfbasOLD  21360  metustfbas  21361