MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelres Structured version   Unicode version

Theorem opelres 5072
Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)
Hypothesis
Ref Expression
opelres.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
opelres  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )

Proof of Theorem opelres
StepHypRef Expression
1 df-res 4808 . . 3  |-  ( C  |`  D )  =  ( C  i^i  ( D  X.  _V ) )
21eleq2i 2498 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <->  <. A ,  B >.  e.  ( C  i^i  ( D  X.  _V ) ) )
3 elin 3592 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  i^i  ( D  X.  _V ) )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V )
) )
4 opelres.1 . . . 4  |-  B  e. 
_V
5 opelxp 4826 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V ) 
<->  ( A  e.  D  /\  B  e.  _V ) )
64, 5mpbiran2 927 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V ) 
<->  A  e.  D )
76anbi2i 698 . 2  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( D  X.  _V ) )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )
82, 3, 73bitri 274 1  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1872   _Vcvv 3022    i^i cin 3378   <.cop 3947    X. cxp 4794    |` cres 4798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-opab 4426  df-xp 4802  df-res 4808
This theorem is referenced by:  brres  5073  opelresg  5074  opres  5076  dmres  5087  elres  5102  relssres  5104  iss  5114  restidsing  5123  asymref  5178  ssrnres  5237  cnvresima  5286  ressn  5334  funssres  5584  fcnvres  5720  fvn0ssdmfun  5972  resiexg  6687  relexpindlem  13070  dprd2dlem1  17617  dprd2da  17618  hausdiag  20602  hauseqlcld  20603  ovoliunlem1  22397  h2hlm  26575  undmrnresiss  36123
  Copyright terms: Public domain W3C validator