Theorem opelres 4222

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25.

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opelres	|- (<.A, B>. e. (C |` D) <-> (<.A, B>. e. C /\ A e. D))

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4006	. . 3 |- (C |` D) = (C i^i (D X. _V))
2	1	eleq2i 1961	. 2 |- (<.A, B>. e. (C |` D) <-> <.A, B>. e. (C i^i (D X. _V)))
3		elin 2786	. 2 |- (<.A, B>. e. (C i^i (D X. _V)) <-> (<.A, B>. e. C /\ <.A, B>. e. (D X. _V)))
4		opelres.1	. . . . 5 |- B e. _V
5	4	opelxp 4036	. . . 4 |- (<.A, B>. e. (D X. _V) <-> (A e. D /\ B e. _V))
6	5, 4	mpbiran2 799	. . 3 |- (<.A, B>. e. (D X. _V) <-> A e. D)
7	6	anbi2i 538	. 2 |- ((<.A, B>. e. C /\ <.A, B>. e. (D X. _V)) <-> (<.A, B>. e. C /\ A e. D))
8	2, 3, 7	3bitri 194	1 |- (<.A, B>. e. (C |` D) <-> (<.A, B>. e. C /\ A e. D))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   i^i cin 2592  <.cop 3046   X. cxp 3984   |` cres 3988

This theorem is referenced by:  brres 4223  opelresg 4224  opres 4225  opresOLD 4226  dmres 4234  relssres 4248  resiexg 4253  iss 4254  issOLD 4255  asymref 4308  asymrefOLD 4309  ssrnres 4354  rninxpOLD 4356  funssres 4460  fcoi1OLD 4585  fcoi2OLD 4587  fcnvres 4589  fsplit 5086  gapmlem 9461  elres 13824  restidsing 14391  cnvresima 15359  filnetlem4 15643

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-res 4006

Copyright terms: Public domain