Theorem opelopabsbOLD 3565

Description: The law of concretion in terms of substitutions.

Assertion

Ref	Expression
opelopabsbOLD	|- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)

Distinct variable groups:   x,y,z   x,w,y

Proof of Theorem opelopabsbOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		a9e 1483	. 2 |- E.y y = w
2		ax-17 1317	. . . . 5 |- (v e. <.z, w>. -> A.y v e. <.z, w>.)
3		hbopab2 3563	. . . . 5 |- (v e. {<.x, y>. | ph} -> A.y v e. {<.x, y>. | ph})
4	2, 3	hbel 1996	. . . 4 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.y<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph})
5		hbs1 1722	. . . 4 |- ([w / y][z / x]ph -> A.y[w / y][z / x]ph)
6	4, 5	hbbi 1357	. . 3 |- ((<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph) -> A.y(<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph))
7		a9e 1483	. . . 4 |- E.x x = z
8		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (y = w -> A.x y = w)
9		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (v e. <.z, w>. -> A.x v e. <.z, w>.)
10		hbopab1 3562	. . . . . . . 8 |- (v e. {<.x, y>. | ph} -> A.x v e. {<.x, y>. | ph})
11	9, 10	hbel 1996	. . . . . . 7 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.x<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph})
12		hbs1 1722	. . . . . . . 8 |- ([z / x]ph -> A.x[z / x]ph)
13	12	hbsb 1723	. . . . . . 7 |- ([w / y][z / x]ph -> A.x[w / y][z / x]ph)
14	11, 13	hbbi 1357	. . . . . 6 |- ((<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph) -> A.x(<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph))
15	8, 14	hbim 1354	. . . . 5 |- ((y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)) -> A.x(y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)))
16		opeq12 3160	. . . . . . . . 9 |- ((x = z /\ y = w) -> <.x, y>. = <.z, w>.)
17	16	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- ((x = z /\ y = w) -> (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | ph}))
18		opabid 3557	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
19	17, 18	syl5bbr 593	. . . . . . 7 |- ((x = z /\ y = w) -> (ph <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | ph}))
20		sbequ12 1545	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (ph <-> [z / x]ph))
21		sbequ12 1545	. . . . . . . 8 |- (y = w -> ([z / x]ph <-> [w / y][z / x]ph))
22	20, 21	sylan9bb 599	. . . . . . 7 |- ((x = z /\ y = w) -> (ph <-> [w / y][z / x]ph))
23	19, 22	bitr3d 589	. . . . . 6 |- ((x = z /\ y = w) -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph))
24	23	ex 402	. . . . 5 |- (x = z -> (y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)))
25	15, 24	19.23ai 1412	. . . 4 |- (E.x x = z -> (y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)))
26	7, 25	ax-mp 7	. . 3 |- (y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph))
27	6, 26	19.23ai 1412	. 2 |- (E.y y = w -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph))
28	1, 27	ax-mp 7	1 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> [w / y][z / x]ph)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  [wsbc 1534  <.cop 3046  {copab 3395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396

Copyright terms: Public domain