Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelopabsb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem opelopabsb 4711
 Description: The law of concretion in terms of substitutions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
opelopabsb
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem opelopabsb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3034 . . . . . . . . . 10
2 vex 3034 . . . . . . . . . 10
31, 2opnzi 4674 . . . . . . . . 9
4 simpl 464 . . . . . . . . . . 11
54eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10
65necon3ai 2668 . . . . . . . . 9
73, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8
87nex 1686 . . . . . . 7
98nex 1686 . . . . . 6
10 elopab 4709 . . . . . 6
119, 10mtbir 306 . . . . 5
12 eleq1 2537 . . . . 5
1311, 12mtbiri 310 . . . 4
1413necon2ai 2672 . . 3
15 opnz 4673 . . 3
1614, 15sylib 201 . 2
17 sbcex 3265 . . 3
18 spesbc 3337 . . . 4
19 sbcex 3265 . . . . 5
2019exlimiv 1784 . . . 4
2118, 20syl 17 . . 3
2217, 21jca 541 . 2
23 opeq1 4158 . . . . 5
2423eleq1d 2533 . . . 4
25 dfsbcq2 3258 . . . 4
2624, 25bibi12d 328 . . 3
27 opeq2 4159 . . . . 5
2827eleq1d 2533 . . . 4
29 dfsbcq2 3258 . . . . 5
3029sbcbidv 3310 . . . 4
3128, 30bibi12d 328 . . 3
32 nfopab1 4462 . . . . . 6
3332nfel2 2628 . . . . 5
34 nfs1v 2286 . . . . 5
3533, 34nfbi 2037 . . . 4
36 opeq1 4158 . . . . . 6
3736eleq1d 2533 . . . . 5
38 sbequ12 2098 . . . . 5
3937, 38bibi12d 328 . . . 4
40 nfopab2 4463 . . . . . . 7
4140nfel2 2628 . . . . . 6
42 nfs1v 2286 . . . . . 6
4341, 42nfbi 2037 . . . . 5
44 opeq2 4159 . . . . . . 7
4544eleq1d 2533 . . . . . 6
46 sbequ12 2098 . . . . . 6
4745, 46bibi12d 328 . . . . 5
48 opabid 4708 . . . . 5
4943, 47, 48chvar 2119 . . . 4
5035, 39, 49chvar 2119 . . 3
5126, 31, 50vtocl2g 3097 . 2
5216, 22, 51pm5.21nii 360 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671  wsb 1805   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031  wsbc 3255  c0 3722  cop 3965  copab 4453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-opab 4455 This theorem is referenced by:  brabsb  4712  opelopabgf  4721  opelopabaf  4725  opelopabf  4726  difopab  4971  isarep1  5672  fmptsnd  6102
 Copyright terms: Public domain W3C validator