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Theorem opeliun2xp 33176
Description: Membership of an ordered pair in a union of Cartesian products over its second component, analogous to opeliunxp 5040. (Contributed by AV, 30-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
opeliun2xp  |-  ( <. C ,  y >.  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  ( y  e.  B  /\  C  e.  A ) )

Proof of Theorem opeliun2xp
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 4317 . . 3  |-  U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  =  { x  |  E. y  e.  B  x  e.  ( A  X.  { y } ) }
21eleq2i 2532 . 2  |-  ( <. C ,  y >.  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  <. C , 
y >.  e.  { x  |  E. y  e.  B  x  e.  ( A  X.  { y } ) } )
3 opex 4701 . . 3  |-  <. C , 
y >.  e.  _V
4 df-rex 2810 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  x  e.  ( A  X.  { y } )  <->  E. y ( y  e.  B  /\  x  e.  ( A  X.  {
y } ) ) )
5 nfv 1712 . . . . . 6  |-  F/ z ( y  e.  B  /\  x  e.  ( A  X.  { y } ) )
6 nfs1v 2183 . . . . . . 7  |-  F/ y [ z  /  y ] y  e.  B
7 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y [_ z  /  y ]_ A
8 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { z }
97, 8nfxp 5015 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( [_ z  /  y ]_ A  X.  { z } )
109nfcri 2609 . . . . . . 7  |-  F/ y  x  e.  ( [_ z  /  y ]_ A  X.  { z } )
116, 10nfan 1933 . . . . . 6  |-  F/ y ( [ z  / 
y ] y  e.  B  /\  x  e.  ( [_ z  / 
y ]_ A  X.  {
z } ) )
12 sbequ12 1997 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  [ z  /  y ] y  e.  B ) )
13 csbeq1a 3429 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  A  =  [_ z  /  y ]_ A )
14 sneq 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  { y }  =  { z } )
1513, 14xpeq12d 5013 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( A  X.  { y } )  =  ( [_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) )
1615eleq2d 2524 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
x  e.  ( A  X.  { y } )  <->  x  e.  ( [_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) ) )
1712, 16anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  B  /\  x  e.  ( A  X.  { y } ) )  <->  ( [
z  /  y ] y  e.  B  /\  x  e.  ( [_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) ) ) )
185, 11, 17cbvex 2027 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  e.  B  /\  x  e.  ( A  X.  {
y } ) )  <->  E. z ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  x  e.  ( [_ z  / 
y ]_ A  X.  {
z } ) ) )
194, 18bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  x  e.  ( A  X.  { y } )  <->  E. z ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  x  e.  ( [_ z  / 
y ]_ A  X.  {
z } ) ) )
20 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. C ,  y
>.  ->  ( x  e.  ( [_ z  / 
y ]_ A  X.  {
z } )  <->  <. C , 
y >.  e.  ( [_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) ) )
2120anbi2d 701 . . . . 5  |-  ( x  =  <. C ,  y
>.  ->  ( ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  x  e.  ( [_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) )  <->  ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  (
[_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) ) ) )
2221exbidv 1719 . . . 4  |-  ( x  =  <. C ,  y
>.  ->  ( E. z
( [ z  / 
y ] y  e.  B  /\  x  e.  ( [_ z  / 
y ]_ A  X.  {
z } ) )  <->  E. z ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  (
[_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) ) ) )
2319, 22syl5bb 257 . . 3  |-  ( x  =  <. C ,  y
>.  ->  ( E. y  e.  B  x  e.  ( A  X.  { y } )  <->  E. z
( [ z  / 
y ] y  e.  B  /\  <. C , 
y >.  e.  ( [_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) ) ) )
243, 23elab 3243 . 2  |-  ( <. C ,  y >.  e. 
{ x  |  E. y  e.  B  x  e.  ( A  X.  {
y } ) }  <->  E. z ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  (
[_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) ) )
25 opelxp 5018 . . . . . 6  |-  ( <. C ,  y >.  e.  ( [_ z  / 
y ]_ A  X.  {
z } )  <->  ( C  e.  [_ z  /  y ]_ A  /\  y  e.  { z } ) )
2625anbi2i 692 . . . . 5  |-  ( ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  <. C ,  y
>.  e.  ( [_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) )  <->  ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  ( C  e.  [_ z  / 
y ]_ A  /\  y  e.  { z } ) ) )
27 an13 797 . . . . . 6  |-  ( ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  ( C  e.  [_ z  /  y ]_ A  /\  y  e.  { z } ) )  <->  ( y  e.  { z }  /\  ( C  e.  [_ z  /  y ]_ A  /\  [ z  /  y ] y  e.  B
) ) )
28 ancom 448 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  [_ z  /  y ]_ A  /\  [ z  /  y ] y  e.  B
)  <->  ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  C  e.  [_ z  /  y ]_ A ) )
2928anbi2i 692 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { z }  /\  ( C  e.  [_ z  / 
y ]_ A  /\  [
z  /  y ] y  e.  B ) )  <->  ( y  e. 
{ z }  /\  ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  C  e.  [_ z  /  y ]_ A
) ) )
3027, 29bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  ( C  e.  [_ z  /  y ]_ A  /\  y  e.  { z } ) )  <->  ( y  e.  { z }  /\  ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  C  e.  [_ z  /  y ]_ A
) ) )
31 elsn 4030 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z }  <-> 
y  =  z )
32 equcom 1799 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  <->  z  =  y )
3331, 32bitri 249 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { z }  <-> 
z  =  y )
3433anbi1i 693 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { z }  /\  ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  C  e.  [_ z  / 
y ]_ A ) )  <-> 
( z  =  y  /\  ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  C  e.  [_ z  /  y ]_ A ) ) )
3526, 30, 343bitri 271 . . . 4  |-  ( ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  <. C ,  y
>.  e.  ( [_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) )  <->  ( z  =  y  /\  ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  C  e.  [_ z  / 
y ]_ A ) ) )
3635exbii 1672 . . 3  |-  ( E. z ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  (
[_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) )  <->  E. z
( z  =  y  /\  ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  C  e.  [_ z  /  y ]_ A ) ) )
37 vex 3109 . . . 4  |-  y  e. 
_V
38 sbequ12r 1998 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( [ z  /  y ] y  e.  B  <->  y  e.  B ) )
3913equcoms 1800 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  A  =  [_ z  /  y ]_ A )
4039eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  [_ z  /  y ]_ A  =  A )
4140eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( C  e.  [_ z  / 
y ]_ A  <->  C  e.  A ) )
4238, 41anbi12d 708 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  (
( [ z  / 
y ] y  e.  B  /\  C  e. 
[_ z  /  y ]_ A )  <->  ( y  e.  B  /\  C  e.  A ) ) )
4337, 42ceqsexv 3143 . . 3  |-  ( E. z ( z  =  y  /\  ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  C  e.  [_ z  / 
y ]_ A ) )  <-> 
( y  e.  B  /\  C  e.  A
) )
4436, 43bitri 249 . 2  |-  ( E. z ( [ z  /  y ] y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  (
[_ z  /  y ]_ A  X.  { z } ) )  <->  ( y  e.  B  /\  C  e.  A ) )
452, 24, 443bitri 271 1  |-  ( <. C ,  y >.  e. 
U_ y  e.  B  ( A  X.  { y } )  <->  ( y  e.  B  /\  C  e.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617   [wsb 1744    e. wcel 1823   {cab 2439   E.wrex 2805   [_csb 3420   {csn 4016   <.cop 4022   U_ciun 4315    X. cxp 4986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-iun 4317  df-opab 4498  df-xp 4994
This theorem is referenced by:  eliunxp2  33177
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