Theorem opeldm 4160

Description: Membership of first of an ordered pair in a domain.

Hypothesis

Ref	Expression
opeldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
opeldm	|- (<.A, B>. e. C -> A e. dom C)

Proof of Theorem opeldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 3159	. . . . 5 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
2	1	eleq1d 1963	. . . 4 |- (y = B -> (<.A, y>. e. C <-> <.A, B>. e. C))
3	2	cla4egv 2365	. . 3 |- (B e. _V -> (<.A, B>. e. C -> E.y<.A, y>. e. C))
4		opeldm.1	. . . 4 |- A e. _V
5	4	eldm2 4154	. . 3 |- (A e. dom C <-> E.y<.A, y>. e. C)
6	3, 5	syl6ibr 230	. 2 |- (B e. _V -> (<.A, B>. e. C -> A e. dom C))
7		opprc2 3171	. . . 4 |- (-. B e. _V -> <.A, B>. = <.A, A>.)
8	7	eleq1d 1963	. . 3 |- (-. B e. _V -> (<.A, B>. e. C <-> <.A, A>. e. C))
9		opeq2 3159	. . . . . 6 |- (y = A -> <.A, y>. = <.A, A>.)
10	9	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (y = A -> (<.A, y>. e. C <-> <.A, A>. e. C))
11	4, 10	cla4ev 2371	. . . 4 |- (<.A, A>. e. C -> E.y<.A, y>. e. C)
12	11, 5	sylibr 217	. . 3 |- (<.A, A>. e. C -> A e. dom C)
13	8, 12	syl6bi 231	. 2 |- (-. B e. _V -> (<.A, B>. e. C -> A e. dom C))
14	6, 13	pm2.61i 140	1 |- (<.A, B>. e. C -> A e. dom C)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  <.cop 3046  dom cdm 3986

This theorem is referenced by:  breldm 4161  elreldm 4185  relssres 4248  iss 4254  imadmrn 4277  dfco2a 4394  funssres 4460  funun 4462  fnrnfv 4718  eqfnfv 4766  tz7.48-1 5165  ecopoprdm 5368  bnj1379 13100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-nul 2876  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-dm 4004

Copyright terms: Public domain