Theorem opeldm 3371

Description: Membership of first of an ordered pair in a domain.

Hypothesis

Ref	Expression
opeldm.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
opeldm	|- (<.A, B>. e. C -> A e. dom C)

Proof of Theorem opeldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 2542	. . . . 5 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
2	1	eleq1d 1587	. . . 4 |- (y = B -> (<.A, y>. e. C <-> <.A, B>. e. C))
3	2	cla4egv 1910	. . 3 |- (B e. V -> (<.A, B>. e. C -> E.y<.A, y>. e. C))
4		opeldm.1	. . . 4 |- A e. V
5	4	eldm2 3365	. . 3 |- (A e. dom C <-> E.y<.A, y>. e. C)
6	3, 5	syl6ibr 220	. 2 |- (B e. V -> (<.A, B>. e. C -> A e. dom C))
7		opprc2 2553	. . . 4 |- (-. B e. V -> <.A, B>. = <.A, A>.)
8	7	eleq1d 1587	. . 3 |- (-. B e. V -> (<.A, B>. e. C <-> <.A, A>. e. C))
9		opeq2 2542	. . . . . 6 |- (y = A -> <.A, y>. = <.A, A>.)
10	9	eleq1d 1587	. . . . 5 |- (y = A -> (<.A, y>. e. C <-> <.A, A>. e. C))
11	4, 10	cla4ev 1916	. . . 4 |- (<.A, A>. e. C -> E.y<.A, y>. e. C)
12	11, 5	sylibr 207	. . 3 |- (<.A, A>. e. C -> A e. dom C)
13	8, 12	syl6bi 221	. 2 |- (-. B e. V -> (<.A, B>. e. C -> A e. dom C))
14	6, 13	pm2.61i 132	1 |- (<.A, B>. e. C -> A e. dom C)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  Vcvv 1858  <.cop 2463  dom cdm 3227

This theorem is referenced by:  breldm 3372  elreldm 3395  relssres 3449  imadmrn 3471  funssres 3609  funun 3611  fnrnfv 3816  eqfnfv 3854  tz7.48-1 4014  ecopoprdm 4370  domintreflem 10562  domintref 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-12 1009  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-nul 2332  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-br 2675  df-dm 3245

Copyright terms: Public domain