Theorem opelcog 3347

Description: Ordered pair membership in a composition.

Assertion

Ref	Expression
opelcog	|- ((A e. R /\ B e. S) -> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,C   x,D

Proof of Theorem opelcog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 2541	. . . . 5 |- (y = A -> <.y, z>. = <.A, z>.)
2	1	eleq1d 1587	. . . 4 |- (y = A -> (<.y, z>. e. (C o. D) <-> <.A, z>. e. (C o. D)))
3		breq1 2677	. . . . . 6 |- (y = A -> (yDx <-> ADx))
4	3	anbi1d 628	. . . . 5 |- (y = A -> ((yDx /\ xCz) <-> (ADx /\ xCz)))
5	4	exbidv 1321	. . . 4 |- (y = A -> (E.x(yDx /\ xCz) <-> E.x(ADx /\ xCz)))
6	2, 5	bibi12d 640	. . 3 |- (y = A -> ((<.y, z>. e. (C o. D) <-> E.x(yDx /\ xCz)) <-> (<.A, z>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCz))))
7		opeq2 2542	. . . . 5 |- (z = B -> <.A, z>. = <.A, B>.)
8	7	eleq1d 1587	. . . 4 |- (z = B -> (<.A, z>. e. (C o. D) <-> <.A, B>. e. (C o. D)))
9		breq2 2678	. . . . . 6 |- (z = B -> (xCz <-> xCB))
10	9	anbi2d 627	. . . . 5 |- (z = B -> ((ADx /\ xCz) <-> (ADx /\ xCB)))
11	10	exbidv 1321	. . . 4 |- (z = B -> (E.x(ADx /\ xCz) <-> E.x(ADx /\ xCB)))
12	8, 11	bibi12d 640	. . 3 |- (z = B -> ((<.A, z>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCz)) <-> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCB))))
13		visset 1860	. . . 4 |- y e. V
14		visset 1860	. . . 4 |- z e. V
15	13, 14	opelco 3345	. . 3 |- (<.y, z>. e. (C o. D) <-> E.x(yDx /\ xCz))
16	6, 12, 15	vtocl2g 1897	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCB)))
17		df-br 2675	. . . 4 |- (ADx <-> <.A, x>. e. D)
18		df-br 2675	. . . 4 |- (xCB <-> <.x, B>. e. C)
19	17, 18	anbi12i 493	. . 3 |- ((ADx /\ xCB) <-> (<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C))
20	19	exbii 1092	. 2 |- (E.x(ADx /\ xCB) <-> E.x(<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C))
21	16, 20	syl6bb 547	1 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(<.A, x>. e. D /\ <.x, B>. e. C)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  <.cop 2463   class class class wbr 2674   o. ccom 3231

This theorem is referenced by:  fcoi1 3702  fcoi2 3703  dmfco 3830  fvco 3831

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-br 2675  df-opab 2722  df-co 3244

Copyright terms: Public domain