Theorem opelco 3345

Description: Ordered pair membership in a composition.

Hypotheses

Ref	Expression
opelco.1	|- A e. V
opelco.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
opelco	|- (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCB))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,C   x,D

Proof of Theorem opelco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 3244	. . 3 |- (C o. D) = {<.y, z>. | E.x(yDx /\ xCz)}
2	1	eleq2i 1585	. 2 |- (<.A, B>. e. (C o. D) <-> <.A, B>. e. {<.y, z>. | E.x(yDx /\ xCz)})
3		opelco.1	. . 3 |- A e. V
4		opelco.2	. . 3 |- B e. V
5		breq1 2677	. . . . 5 |- (y = A -> (yDx <-> ADx))
6	5	anbi1d 628	. . . 4 |- (y = A -> ((yDx /\ xCz) <-> (ADx /\ xCz)))
7	6	exbidv 1321	. . 3 |- (y = A -> (E.x(yDx /\ xCz) <-> E.x(ADx /\ xCz)))
8		breq2 2678	. . . . 5 |- (z = B -> (xCz <-> xCB))
9	8	anbi2d 627	. . . 4 |- (z = B -> ((ADx /\ xCz) <-> (ADx /\ xCB)))
10	9	exbidv 1321	. . 3 |- (z = B -> (E.x(ADx /\ xCz) <-> E.x(ADx /\ xCB)))
11	3, 4, 7, 10	opelopab 2876	. 2 |- (<.A, B>. e. {<.y, z>. | E.x(yDx /\ xCz)} <-> E.x(ADx /\ xCB))
12	2, 11	bitri 180	1 |- (<.A, B>. e. (C o. D) <-> E.x(ADx /\ xCB))

Syntax hints:   <-> wb 153   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  Vcvv 1858  <.cop 2463   class class class wbr 2674  {copab 2721   o. ccom 3231

This theorem is referenced by:  brco 3346  opelcog 3347  cnvco 3357  dmcoss 3420  dmcosseq 3422  cores 3556  co02 3565  coi1 3567  coass 3569

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-br 2675  df-opab 2722  df-co 3244

Copyright terms: Public domain