Theorem opelcnvg 3353

Description: Ordered-pair membership in converse.

Assertion

Ref	Expression
opelcnvg	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. `'R <-> <.B, A>. e. R))

Proof of Theorem opelcnvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2678	. . . 4 |- (x = A -> (yRx <-> yRA))
2		breq1 2677	. . . 4 |- (y = B -> (yRA <-> BRA))
3	1, 2	opelopabg 2873	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. {<.x, y>. | yRx} <-> BRA))
4		df-cnv 3243	. . . 4 |- `'R = {<.x, y>. | yRx}
5	4	eleq2i 1585	. . 3 |- (<.A, B>. e. `'R <-> <.A, B>. e. {<.x, y>. | yRx})
6	3, 5	syl5bb 543	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. `'R <-> BRA))
7		df-br 2675	. 2 |- (BRA <-> <.B, A>. e. R)
8	6, 7	syl6bb 547	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. `'R <-> <.B, A>. e. R))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   e. wcel 999  <.cop 2463   class class class wbr 2674  {copab 2721  `'ccnv 3226

This theorem is referenced by:  brcnvg 3354  opelcnv 3355  fvimacnv 3862  xrlenlt 5566

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-br 2675  df-opab 2722  df-cnv 3243

Copyright terms: Public domain